基于翻轉課堂教學模式的高等數學教學案例研究

趙文才　包云霞

摘要：本文以“格林公式及其應用”為教學案例，探索以問題為驅動的翻轉課堂教學模式改革，鼓勵學生從實際問題出發，充分利用優質課程資源自主探究學習。課堂教學由教師講授轉變為師生共同討論、以學生匯報交流為主，實現線上學習和線下研討的有機融合，從而激發學生學習數學的興趣。

關鍵詞：高等數學；翻轉課堂；問題驅動；教學案例；格林公式

中圖分類號：G645 文獻標示碼：A 文章編號：1674-9324（2017）49-0177-02

一、教學背景

曲線積分是高等數學的重要內容，主要研究多元函數沿曲線弧的積分。曲線積分主要包括對弧長的曲線積分和對坐標的曲線積分。對坐標的曲線積分是解決變力沿曲線作功等許多實際問題的重要工具，在工程技術等許多方面有重要應用。格林（Green）公式研究閉曲線上的線積分與曲線所圍成的閉區域上的二重積分之間的關系，具有重要的理論意義與實際應用價值。

二、教學目標

課程教學目標包括三個方面：知識目標、能力目標、情感目標。

1.知識目標。理解和掌握格林公式的內容和意義，熟練應用格林公式解決實際問題，了解單連通區域和復連通區域的概念，理解邊界線方向的確定方法。

2.能力目標。通過實際問題的分析和討論，增強學生應用數學的意識，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力，通過推導和證明，培養其嚴格的邏輯思維能力。

3.情感目標。通過引入輪滑等身邊實例，使學生認識到所學數學知識的實用性，結合生動自然的語言，激發其學習數學的興趣。

三、教學策略

1.采用線上線下相融合的翻轉課堂教學模式。課前線上學習、小組討論，課上教師講解、同學匯報，師生討論、深化提高。

2.采用以問題為驅動的教學策略。以輪滑作功問題引入，圍繞下列問題漸次展開：第一，什么是單連通區域、復連通區域？如何確定邊界曲線的正向？第二，格林公式的條件和結論，如何證明？第三，格林公式的具體應用。

3.采用實例教學法，激發學生學習興趣。利用生活中的滑輪問題，引入力、路徑和功之間的關系，激發學生興趣；然后提出計算問題，使其認識到探索新方法的必要性，引導學生主動思考和應用格林公式。

4.采用典型例題教學法，鞏固教學重點。通過分析典型例題，使學生深入理解格林公式在計算第二型曲線積分中的作用。學生通過分析典型例題的求解思路和方法，融合比較分析技術，自己總結規律和技巧，掌握格林公式的應用，同時鞏固格林公式的理論和方法。

四、教學過程

1.問題導入——輪滑做功問題。例1 假設在輪滑過程中前方所施拉力為=（e，+xe），滑行路線為L：（x-1）+y=1，求逆時針滑行一周前方對后方所做的功.

分析：該問題是變力沿曲線作功問題

由第二類曲線積分的計算方法，令x=1+cost，y=sint，則有

請同學們思考，如何計算該定積分？同學們討論后發現，積分求解困難，統一變量法失效，發現化為定積分方法的局限性。求解這樣一個閉曲線上的積分，需要尋求新的方法，這就是格林公式，從而引出本節教學內容。

板書本節課的主要問題（后續教學緊緊圍繞這三個問題展開）。

第一，什么是單連通區域、復連通區域？如何確定邊界曲線的正向？第二，格林公式的條件和結論，如何證明？第三，格林公式的具體應用。

2.單（復）連通區域。在討論格林公式之前，先討論關于區域的基本概念。通過平面封閉曲線圍成平面區域這一事實，引入平面區域的分類和邊界線的概念。

請同學們匯報網上學習的情況。有同學主動要求匯報，學生在黑板上畫圖并通過圖形敘述了單（復）連通區域的概念以及邊界曲線正向的確定方法。

教師對學生匯報情況加以肯定，強調復連通區域內外邊界線方向的不同，并進一步拓展為內部有多個“洞”的情況。

3.格林公式。我們知道平面區域對應著二重積分，而其邊界線對應著曲線積分，這兩類積分之間有什么關系呢？

請同學根據線上學習情況匯報。有同學帶事先準備好的講稿主動要求到講臺講解。先板書定理內容，然后畫圖，結合圖形分析證明思路。要求學生僅針對區域既是X型又是Y型的情況進行證明。利用積分區域的可加性，其他情況可以類似證明。

教師提問：定理的條件為什么要求被積函數具有一階連續偏導數呢？

學生討論后發現：定理證明過程中用到了偏導數的二重積分，因而要求連續。

教師提問：格林公式對復連通區域成立嗎？

師生共同討論：通過給一個具體區域形狀，根據分割方法，將一般區域問題化為幾個簡單問題。利用對坐標的曲線積分的性質，可以證明，格林公式同樣成立。

為了便于記憶，我們把格林公式的條件歸納為：“封閉”、“正向”、“具有一階連續偏導數”。

4.格林公式的具體應用——典型例題分析。（1）直接用格林公式來計算。例1 輪滑做功問題求解，讓學生體會格林公式的作用，回應問題引入。

（2）間接用格林公式來計算。例2 計算對坐標的曲線積分（esiny+my）dx+（ecosy-m）dy，其中L是上半圓周（x-a）2+y2=a2，y≥0，沿逆時針方向。

教師提問：能否直接使用統一變量法？若不能，能否利用格林公式？

學生回答：不滿足格林公式的條件。

教師進一步啟發：能否創造條件，使之滿足定理的條件？

通過師生共同分析：采取補邊的辦法。

（3）被積函數含有奇點情形。例3 計算曲線積分

其中L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續閉曲線，取逆時針方向。

分析：為一條抽象的連續閉曲線，其內部可能包含原點，也可能不包含原點。若包含原點在內，則原點為被積函數的奇點，不能直接使用格林公式。

師生共同探討：采取“挖去”奇點的辦法解決。

5.內容總結。課堂總結復習，回顧格林公式的內容和求閉曲線上的線積分的基本方法。布置課后作業，掌握格林公式的應用。重點復習格林公式的理解和應用。

五、教學反思

課題教學從實際問題出發，導出問題，分析問題，圍繞問題展開討論。采用了線上線下相融合的翻轉課堂教學模式，學生通過課前線上學習，課堂匯報，充分體現了學生的主體地位，發揮了學生學習的積極性和主動性。課堂教學運用了問題驅動的教學方法，層層遞進，環環相扣，知識內容一氣呵成。重點強調了公式的條件和應用方法。但在學生匯報環節，個別學生參與度不夠，體現出線上學習不夠深入。

參考文獻：

[1]趙文才，劉洪霞，趙義軍.類比推理方法在翻轉課堂教學改革中的應用[J].大學教育，2016，（10）：122-124.

[2]劉洪霞，周紹偉，卓相來.基于微課的翻轉課堂教學設計與實踐[J].統計與管理，2017，（5）：117-119.endprint