淺議向量組線性相關性的判別方法

王星星++賈會芳

摘 要：向量組的線性相關性是《線性代數》的重要內容，也是考研必不可少的一部分。行列式的值、矩陣的初等變換、齊次線性方程組的解等理論都可用于判別向量組的線性相關性，本文總結了判別向量組線性相關性的幾種方法，并給出一些典型例子。

關鍵詞：向量組；線性相關性；判別方法

向量組的線性相關性是線性代數的重要內容，它與行列式、矩陣、線性方程組的解等都有著緊密的聯系。由于其概念比較抽象，以致向量組的線性相關性判定成了一大難題。

1相關結論法

下面的結論簡單易懂，是判別向量組線性相關性的最直接方法。

結論1：單個零向量線性相關，單個非零向量線性無關。

結論2：[α1，α2]，線性相關的充要條件是[α1，α2]的分量對應成比例。

結論3：含零向量的向量組必線性相關。

結論4：若向量組[α1…，αr]線性相關，則向量組[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）線性相關；若向量組線性無關，則其任意的部分組線性無關。

結論5：當m>n時，則n維向量組[α1，α2…，αm]必線性相關；特別n+1個n維向量組必線性相關。

結論6：向量組[α1，α2…，αm]（m≥2）線性相關的充分必要條件是向量組中至少有一個向量可由其余m-1個向量線性表示。

結論7：若向量組線性無關，則對其中每個向量在相同位置任意添加多個分量后所得向量組仍線性無關（無關組添加分量仍無關）。

例1：判別向量組

[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的線性相關性。

解：由結論5知，5個四維向量一定是線性相關的。

2定義法

利用定義來判別時，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全為零的數[k1，k2…，km]使得等式成立，則向量組[α1，α2...，αm]是線性相關的，否則稱它是線性無關的。這是判斷向量組線性相關性的最基本方法。此方法適用于分量未給出的向量組。

例2：已知向量組[α1，α2，α3]線性無關，證明向量組[β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3]也線性無關。

證明：設存在數[k1，k2，k3]使[k1β1+k2β2+k3β3=0]，則有[k1α1+k2（α1+α2）+k3（α1+α2+α3）=0]，即

[k1+k2+k3α1+k2+k3α2+k3α3=0]，由[α1，α2，α3]線性無關，故[k1+k2+k3=0k2+k3=0k3=0]，解得[k1=0，k2=0，k3=0]，所以向量組[β1，β2，β3]也線性無關。

3矩陣的初等變換法

以所給向量組為行向量組（或列向量組）構造矩陣A，并對其作初等行變換化為行階梯形矩陣，如果行階梯形中的非零行行數小于向量個數，則向量組線性相關，否則線性無關。此方法適用于任何已知坐標的向量組，這是判斷向量組線性相關性的最常用方法。

例3：判別向量組

[α1=（1，0，3，1）T，α2=（-1，3，0，-2）T，α3=（2，1，7，2）T，α4=（4，2，14，0）T]的線性相關性。

解：作矩陣

[A=α1，α2，α3，α4=1-1240312307141-220→1-124031203120-104→1-1240104001-100000]

矩陣A的秩為3，而向量組中所含向量個數為4，故向量組[α1，α2，α3，α4]線性相關。

4行列式值法

當所給向量組中向量個數和向量維數相等時，以給定向量組可作成行列式[A]，若行列式[A]的值為0，則向量組是線性相關的；若行列式[A]的值不為0，則向量組是線性無關的。如以上例3（向量個數和向量維數都是4）就可用行列式值法判別：

作行列式[A=1-1240312307141-220=0]，所以向量組[α1，α2，α3，α4]是線性相關的。

5齊次線性方程組法

討論以所給向量組[α1，α2，…，αm]為系數向量的齊次線性方程組[x1α1+x2α2+…+xmαm=0]，若該齊次線性方程組有非零解，則[α1，α2，…，αm]線性相關；否則線性無關。

例4：判別向量組

[α1=（1，a，a2，a3）T，α2=（1，b，b2，b3）T，α3=（1，c，c2，c3）T，α4=（1，d，d2，d3）T]的線性相關性，其中a，b，c，d各不相同。

解考慮相應的齊次線性方程組[x1+x2+x3+x4=0ax1+bx2+cx3+dx4=0a2x1+b2x2+c2x3+d2x4=0a3x1+b3x2+c3x3+d3x4=0]此方程組的系數行列式是范德蒙行列式，易知，當a，b，c，d各不相同時，[D=1111abcda2b2c2d2a3b3c3d3≠0]由克拉默法則知，方程組只有零解，所以向量組[α1，α2，α3，α4]線性無關。

6反證法

判定向量組線性相關性時，可先假設結論成立，然后推出矛盾，從而下結論說假設不成立，原命題得證。

例5：已知[η*]是非齊次線性方程組Ax=b的解向量，而[ξ1，ξ2，…，ξn-r]是對應齊次線性方程組的基礎解系。證明：[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是線性無關的。

證明：假設[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]線性相關，則[η*]可由[ξ1，ξ2，…，ξn-r]線性表出，從而有[Aη*=0]，這與[η*]是Ax=b的解向量矛盾，故[η*，ξ1，ξ2，…，ξn-r]是線性無關。

以上分析和歸納了判斷向量組線性相關性的五種方法，在具體應用時，要看清問題中向量組給出的形式及其他條件，有針對性的選用方法，才能準確、快速地解決問題，同時要注意方法的靈活應用。

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作者簡介：

王星星（1988—），女，河南開封人，理學碩士，長期從事線性代數的教學工作，研究方向：圖論與組合最優化。endprint