人類為什么學(xué)數(shù)學(xué)？

李大潛

對(duì)絕大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一生中學(xué)得最多的一門課程：從小學(xué)到中學(xué)，從中學(xué)到大學(xué)，包括到了研究生的學(xué)習(xí)階段，都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。為什么要花這么多時(shí)間來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？又為什么一定要努力學(xué)好數(shù)學(xué)呢？

要搞清為什么要學(xué)好數(shù)學(xué)，首先要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身的重要性。

世間的萬(wàn)事萬(wàn)物都有數(shù)與形這兩個(gè)側(cè)面，數(shù)學(xué)作為研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，是剔除了物質(zhì)的其他具體特性，僅僅從數(shù)與形的角度來(lái)研究整個(gè)世界的。數(shù)學(xué)的作用和地位，現(xiàn)在看來(lái)，概括起來(lái)可以有以下幾條：

一、數(shù)學(xué)是一類常青的知識(shí)

數(shù)學(xué)是人類必不可少的知識(shí)，這一點(diǎn)不會(huì)有人有疑問(wèn)。人類的許多發(fā)現(xiàn)就像過(guò)眼煙云，很多學(xué)科是從推翻前人的結(jié)論而建立新的理論的；然而，古往今來(lái)數(shù)學(xué)的發(fā)展，不是后人摧毀前人的成果，而是每一代的數(shù)學(xué)家都在原有建筑的基礎(chǔ)上，再添加一層新的建筑。因而，數(shù)學(xué)的結(jié)論往往具有永恒的意義。歐幾里得是兩千多年以前的古希臘數(shù)學(xué)家，然而，以他命名的歐幾里得幾何至今還在發(fā)揮著重要的作用，其中的勾股定理，不僅沒(méi)有被人認(rèn)為老掉了牙而不屑一顧，相反還被人稱為千古第一定理，一直被高度頌揚(yáng)、反復(fù)應(yīng)用，就充分地說(shuō)明了這一點(diǎn)。

二、 數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的語(yǔ)言

伽利略曾說(shuō)過(guò)：“大自然這本書是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的。……除非你首先學(xué)懂了它的語(yǔ)言，……否則這本書是無(wú)法讀懂的。”數(shù)學(xué)這種科學(xué)的語(yǔ)言，是十分精確的，這是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點(diǎn)。同時(shí)，這種語(yǔ)言又是世界通用的。加減乘除、乘方開(kāi)方、指數(shù)對(duì)數(shù)、微分積分、常數(shù)等等，這些數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)一開(kāi)始雖然可能五花八門、各有千秋，但早已統(tǒng)一為一個(gè)固定的樣式，世界各地通用，對(duì)我們的掌握和使用是十分方便的。

三、數(shù)學(xué)是一個(gè)有力的工具

數(shù)學(xué)在人們的日常生活及生產(chǎn)中隨時(shí)隨地發(fā)揮著重要的作用，已經(jīng)有目共睹。在現(xiàn)代，數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代化建設(shè)的重要工具，在很多重要的領(lǐng)域中起著關(guān)鍵性甚至決定性作用。我們國(guó)家在兩彈一星研制中的出色成就，凝聚了不少優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的心血，就是一個(gè)突出的例子。

四、數(shù)學(xué)是一個(gè)共同的基礎(chǔ)

現(xiàn)在，不僅在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中，而且在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、管理科學(xué)，甚至人文、社會(huì)科學(xué)中，為了準(zhǔn)確和定量地考慮問(wèn)題，得到有充分根據(jù)的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)都成了必備的重要基礎(chǔ)。離開(kāi)了數(shù)學(xué)的支撐，有關(guān)的科學(xué)已很難取得長(zhǎng)足的進(jìn)步，很多學(xué)科（特別是很多自然科學(xué)學(xué)科）近年來(lái)甚至已經(jīng)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)化的趨勢(shì)。

五、數(shù)學(xué)是一門重要的科學(xué)

數(shù)學(xué)忽略了物質(zhì)的具體形態(tài)和屬性，純粹從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界，它和哲學(xué)類似，具有超越具體學(xué)科、普遍適用的特征，對(duì)所有的學(xué)科都有指導(dǎo)性的意義。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)科學(xué)已構(gòu)成包括純粹數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)含有的眾多分支學(xué)科和許多新興交叉學(xué)科的龐大的科學(xué)體系。

大家千萬(wàn)不要認(rèn)為，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)，包括已經(jīng)了解的數(shù)學(xué)，就是數(shù)學(xué)的全部。其實(shí)，中學(xué)里學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)，大體上屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，而大學(xué)本科所學(xué)的高等數(shù)學(xué)，是以牛頓、萊布尼茨在十七世紀(jì)創(chuàng)立的微積分為標(biāo)志和起步的，到現(xiàn)在也已經(jīng)有三百多年的歷史了。數(shù)學(xué)遠(yuǎn)比我們已經(jīng)看到的要豐富多彩，說(shuō)數(shù)學(xué)的內(nèi)涵博大精深，是一點(diǎn)也不過(guò)分的。但是，數(shù)學(xué)愈發(fā)展，不是使事情變得愈來(lái)愈復(fù)雜，相反，處理問(wèn)題會(huì)變得更簡(jiǎn)單，人們認(rèn)識(shí)世界與改造世界的能力也愈來(lái)愈大，這會(huì)使我們愈學(xué)愈感到數(shù)學(xué)的魅力，愈學(xué)愈想學(xué)。

過(guò)去小學(xué)六年級(jí)的算術(shù)課，“雞兔同籠”是一個(gè)頂級(jí)的難題。但到中學(xué)學(xué)了代數(shù)，只要根據(jù)題意列出一個(gè)二元一次方程式，一下子就可求得問(wèn)題的解答，這是多么容易啊！中學(xué)里學(xué)的平面幾何，為了證明，要挖空心思畫輔助線，實(shí)在是對(duì)智力的一個(gè)重大挑戰(zhàn)與考驗(yàn)，但學(xué)習(xí)了解析幾何，將代數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)，過(guò)去絞盡腦汁才能求解的幾何問(wèn)題就一下子變得輕而易舉了。我在高中時(shí)，對(duì)如何用數(shù)學(xué)方法求半圓的重心這個(gè)問(wèn)題曾經(jīng)產(chǎn)生了興趣，也為此花了不少的課余時(shí)間，結(jié)果是無(wú)功而返。后來(lái)聽(tīng)老師說(shuō)這個(gè)問(wèn)題只有用微積分才能解決，才知道世界上還有微積分這樣一門威力無(wú)窮的學(xué)問(wèn)，也更激發(fā)了我進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和動(dòng)力。真正好的數(shù)學(xué)，是愈來(lái)愈深入、愈來(lái)愈簡(jiǎn)明、愈來(lái)愈有用的。

六、數(shù)學(xué)是一門關(guān)鍵的技術(shù)

過(guò)去一支筆、一張紙就能搞定的數(shù)學(xué)，竟然可以成為一門技術(shù)，似乎是匪夷所思。但是，數(shù)學(xué)的思想和方法與高速發(fā)展的計(jì)算技術(shù)的結(jié)合的確已經(jīng)形成了技術(shù)，而且是一種關(guān)鍵性的、可實(shí)現(xiàn)的技術(shù)，稱為“數(shù)學(xué)技術(shù)”。在這種技術(shù)中起核心作用的部分是數(shù)學(xué)，拿走它就只剩下一堆廢銅爛鐵。

我們?cè)卺t(yī)院里看到的CT這一先進(jìn)的技術(shù)就是一個(gè)突出的例子。它的本質(zhì)，是利用X光從各個(gè)不同角度拍攝的眾多平面照片，恢復(fù)出體內(nèi)物體（如腫瘤）的立體形狀，這完全是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵物化為計(jì)算機(jī)的軟件及硬件，就成為技術(shù)的一個(gè)重要組成部分與關(guān)鍵，從而可以直接地轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力。現(xiàn)在，“先進(jìn)技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”的說(shuō)法已為愈來(lái)愈多的人們所認(rèn)同。

七、數(shù)學(xué)是一種先進(jìn)的文化

數(shù)學(xué)是人類文明的重要基礎(chǔ)。它的產(chǎn)生和發(fā)展伴隨著人類文明的進(jìn)程，并在其中一直起著重要的推動(dòng)作用，占有舉足輕重的地位。因時(shí)間關(guān)系，下面僅舉計(jì)數(shù)與進(jìn)位這一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)加以說(shuō)明。

大家知道，數(shù)學(xué)開(kāi)始于數(shù)數(shù)。原始人只能區(qū)分1與多，碰到3就覺(jué)得多了，三人為“眾”大概就是這樣來(lái)的。后來(lái)有了十進(jìn)制，用1、2、3、4、5、6、7、8、9和0這十個(gè)數(shù)字，再加上逢十進(jìn)一（以及一個(gè)小數(shù)點(diǎn)），就可以表示世界上任何一個(gè)數(shù)字。這是現(xiàn)在的人們從小就知道的事實(shí)，似乎是天經(jīng)地義的。然而，這卻經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的歷史進(jìn)程，是數(shù)學(xué)給人類文明帶來(lái)的一個(gè)不可磨滅的巨大貢獻(xiàn)。沒(méi)有了它，稍微大一些的數(shù)字就會(huì)使人暈頭轉(zhuǎn)向，更談不上龐大的天文數(shù)字或是極其微小的數(shù)字了，現(xiàn)今金融行業(yè)或科學(xué)試驗(yàn)中種種復(fù)雜或高精度的數(shù)學(xué)運(yùn)算根本不可能進(jìn)行，我們還能有如此高度發(fā)達(dá)的文明社會(huì)嗎？endprint

從這個(gè)例子已足以看出：數(shù)學(xué)過(guò)去是、現(xiàn)在是、將來(lái)也將是一種先進(jìn)的文化，它帶領(lǐng)著、推動(dòng)著、影響著人類的文明進(jìn)程，深刻地改變著世界的面貌，也改變著人類本身的思維能力和認(rèn)識(shí)水平，改變著人類本身。人類充分享受著數(shù)學(xué)文化的恩惠，但往往渾然不覺(jué)、習(xí)以為常，“身在福中不知福”。古人說(shuō)：“天不生仲尼，萬(wàn)古長(zhǎng)如夜。”大家想一想，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，沒(méi)有數(shù)學(xué)的進(jìn)步，人們可能還生活在愚昧之中，我們有什么理由不重視數(shù)學(xué)，不重視數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)和熏陶作用呢？

長(zhǎng)期以來(lái)，在人們認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過(guò)程中，數(shù)學(xué)作為一種精確的語(yǔ)言和一個(gè)有力的工具，一直發(fā)揮著舉足輕重的作用。尤其在當(dāng)代，數(shù)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)建設(shè)的重要武器，作為各門科學(xué)的重要基礎(chǔ)，作為人類文明的重要支柱，在很多領(lǐng)域中已起著關(guān)鍵性甚至決定性作用，數(shù)學(xué)技術(shù)已成為高技術(shù)的突出標(biāo)志和不可或缺的組成部分，數(shù)學(xué)的影響和作用可以說(shuō)是無(wú)處不在，其重要性也已為越來(lái)越多的人所認(rèn)同。這樣，不僅在中小學(xué)，而且在大學(xué)的很多系科中，數(shù)學(xué)都位列最重要的必修課程，就是理所當(dāng)然的事了。

另一方面，要搞清為什么要學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)，還要認(rèn)識(shí)學(xué)好數(shù)學(xué)對(duì)一個(gè)人培養(yǎng)與成長(zhǎng)的重要作用。

如果將數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅僅看成是接受一大堆數(shù)學(xué)知識(shí)，那么即使熟記了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用。如果將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好壞僅僅理解為“刷題”的數(shù)量和速度，那充其量也只能成為一名熟練的數(shù)學(xué)工匠。數(shù)學(xué)是一門重思考與理解，重嚴(yán)格的訓(xùn)練，充滿創(chuàng)造性的科學(xué)，只有掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，才能由不多的幾個(gè)公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論，顯示出無(wú)窮無(wú)盡的威力。我們?cè)S多在實(shí)際工作中成功地應(yīng)用了數(shù)學(xué)，取得相當(dāng)突出成績(jī)的校友都有這樣的體會(huì)：在工作中真正需要用到的具體數(shù)學(xué)分支學(xué)科，具體的數(shù)學(xué)定理、公式和結(jié)論，其實(shí)并不一定很多，學(xué)校里學(xué)過(guò)的一大堆數(shù)學(xué)知識(shí)很多都似乎沒(méi)有派上什么用處，有的甚至可能已經(jīng)忘記，但他們所受的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會(huì)的數(shù)學(xué)思想和精神，所獲得的數(shù)學(xué)教養(yǎng)，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻地在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。我認(rèn)為，這是很值得引起大家重視的經(jīng)驗(yàn)之談。

實(shí)際上，通過(guò)認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，可以使學(xué)生具備一些特有的素質(zhì)和能力。這些素質(zhì)和能力是其他課程的學(xué)習(xí)和其他方面的實(shí)踐無(wú)法替代或難以達(dá)到的，而且，即使所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)淡忘（這是經(jīng)常發(fā)生的情況），這些素質(zhì)及能力作為一個(gè)人的數(shù)學(xué)教養(yǎng)仍不會(huì)消失，將伴隨終生，始終發(fā)揮積極的作用。這些素質(zhì)和能力例如說(shuō)有：

1.自覺(jué)的數(shù)量觀念。使人會(huì)認(rèn)真注意事物的數(shù)量及其變化規(guī)律，而不是 “胸中無(wú)數(shù)”，憑感覺(jué)、“拍腦袋”做決定、辦事情。

2.嚴(yán)密的邏輯思維能力。使人能保持思路清晰，條理分明，有條不紊地處理頭緒紛繁的各項(xiàng)工作。

3.高度的抽象思維能力。面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)象，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本質(zhì)，按部就班地、有效地解決問(wèn)題，而不會(huì)無(wú)所適從、一籌莫展，或是眉毛、胡子一把抓。

4.數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)要求每一個(gè)正負(fù)號(hào)、每一個(gè)小數(shù)點(diǎn)都不能含糊敷衍，有助于培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)和習(xí)慣。

5.數(shù)學(xué)上追求的是最有用（廣泛）的結(jié)論、最少的條件（代價(jià)）以及最簡(jiǎn)明的證明，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，會(huì)逐步形成精益求精、力求盡善盡美的習(xí)慣和風(fēng)格。

6.關(guān)注數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，知道數(shù)學(xué)概念、方法和理論的產(chǎn)生和發(fā)展的淵源和過(guò)程，會(huì)提高建立數(shù)學(xué)模型、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理現(xiàn)實(shí)世界中各種復(fù)雜問(wèn)題的意識(shí)、信念和能力。

7.作為一種思想的體操和競(jìng)賽，數(shù)學(xué)會(huì)使人增強(qiáng)拼搏精神和應(yīng)變能力，通過(guò)不斷分析矛盾，從困難局面中理出頭緒，最終解決問(wèn)題。

8.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和思考，會(huì)為學(xué)生打開(kāi)自由創(chuàng)造的廣闊天地，激發(fā)他們的探索精神、創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力，使他們更加靈活和主動(dòng)，聰明才智得到充分的表現(xiàn)和發(fā)揮，等等。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)教育看起來(lái)只是一種知識(shí)教育，但本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。這種素質(zhì)教育不是從外界強(qiáng)加進(jìn)來(lái)的，而是數(shù)學(xué)教育本身所固有的。以傳授與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，通過(guò)嚴(yán)格認(rèn)真的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，就可以由不自覺(jué)到自覺(jué)地將上述這些方面的素質(zhì)和能力，耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習(xí)慣，逐步變成自己的數(shù)學(xué)教養(yǎng)。真正學(xué)好了數(shù)學(xué)，不管你將來(lái)從事哪行哪業(yè)，都會(huì)讓人變得更聰明，更有智慧，更有競(jìng)爭(zhēng)力，終生受用不盡。

（轉(zhuǎn)載于《澎湃新聞》，本刊轉(zhuǎn)載時(shí)有刪節(jié)）endprint