構造法在高中數學中的應用

王運行

【摘要】在中學數學中，構造法在技巧與方法中占據著非常重要的地位，它可以起到化繁為簡，化難為易的作用，將中學數學中的技巧性展示的淋漓盡致。下面筆者將從一些常見的數學問題中來闡述構造法的具體應用。

【關鍵詞】構造；轉化；中學數學解題應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）15-0277-02

所謂構造法就是當解決某些數學問題時按照定向思維思考難以解決問題時，應根據題設條件和結論的特征、性質，創設一個符合滿足條件或結論的數學對象，從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地展現出來，并借助該數學對象方便快捷地解決數學問題的方法。它在數學中可以起到“柳暗花明又一村”的作用，體現了學生的創造型思維，也可以反映出學生對于條件的理解和發掘。構造法在數學中有著非常廣泛的應用，無論是代數還是幾何，都可以構造出合適的數學對象以達到解決問題的目的，所以熟練運用構造法解決問題非常重要。下面筆者將從一些常見的數學問題中來闡述構造法的具體應用。

一、構造空間圖形求三棱錐的外接球半徑

題目1 在半徑為R的球面上由不共面的四個點A，B，C，D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，x2+y2+z2=8，求R.

解析：由條件可知該三棱錐的四個面的三角形全等，可在長方體中構造出該三棱錐（圖1），則長方體的體對角線為三棱錐的外接球的直徑，設長方體的長寬高分別為a，b，c，則有：

點評：構造幾何模型是求三棱錐外接球的常見方法，在該題中，因為四個面全等，若三邊分別為x，y，z，則可直接計算出外接球的半徑為：

二、構造基底向量求夾角問題

題目8 已知S-ABC為正四面體，棱長為a，D為SB的中點，E為BC的中點，求異面直線AD與SE所成角的余弦值。

解析：將作為空間基底向量，則：

故異面直線所成角的余弦值為：

點評：在求異面直線的夾角問題中，常見方法是將異面直線轉化為共面直線求夾角，在該題中巧妙的利用基底向量減避免轉化為共面向量繁瑣的平移過程。

三、構造線性規劃求幾何概型

題目9 某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30到7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為？

解析：設小張與小王到校的時刻與7：30的差值分別為x，y分鐘，則：，則有序實數對（x，y）的所有可能的點為圖3所示邊長為20的正方形，因小張比小王至少早5分鐘，則：如圖3所示陰影部分，則小張比小王早五分鐘的概率為：

點評：該題屬于幾何概型中的經典題型，將概率問題通過不等式轉化為線性規劃問題，將抽象問題具體化。

四、構造基本不等式求最值問題

題目4 已知a>b>c，求使得：恒成立的實數k的最大值；

解析：

（當且僅當a+c=2b時“=”成立）

恒成立。

點評：在該題目中所采用的構造法為“1的妙用”，屬于解決基本不等式問題的長江方法。

五、構造抽象函數解不等式

題目5 設函數在R上的導函數為，對有，在上，若，則實數m的取值范圍是？

解析：通過變式可得到

構造函數，故為奇函數當x>0時，

故是定義在R上的增函數。

由函數的單調性可知：

點評：構造抽象函數這一考點在高考中常以選擇題壓軸題的形式出現，考法較為固定，常見的形式有：

六、構造三角函數求最值

題目6 求的最大值。

解析：令

最大值為，當時取得，此時

點評：在該題將一求最值問題通過構造，變為了求三角函數的最值問題，將復雜問題簡單化。

七、構造函數比較不等式的大小

題目7 已知函數在（1，+∞）上是增函數，且a>0。

若b>0，試證明

證明：若要證明該不等式可分為兩部分：

先證明：，再證明：

在這里第二部分的解法用到了構造法，具體解法如下：

將該不等式化簡后即證：

令，即證：即證：

設恒成立

故

點評：在該題中通過構造函數的方式證明了不等式，難點在于首先利用換元法構造出了新函數的自變量，將證明問題轉化為求函數的最值問題是此類問題的常見解法。

八、構造方程求最值問題

題目8 已知實數x，y滿足，求的最大值。

解析：令，則y=mx，帶入已知等式并整理得：

解得的最大值為.

點評：在該題目中，通過構造法，將求最值問題轉化為了二次方程的存根問題，利用存根公式，快速的求出了原式的最值

九、構造幾何模型求代數問題

題目9 函數的值域為；

解析：，則

點在以點為焦點的雙曲線上，于是由雙曲線的定義可知，即-1

點評：代數式以及函數的幾何意義是現在高考中的常考點，常見的考點還有例如在線性規劃問題中求的取值范圍。

參考文獻

[1]構造一元二次方程解題.盧永榮[1]

[2]淺談構造法在高中數學中的應用.李娟娟[1]

[3]淺談構造法在數學中的應用.徐秋麗[1]

[4]淺談構造法在中學數學中的應用.劉振源[1]

[5]淺談圓錐曲線中點弦問題.鄭美華

[6]淺析構造法在初等數學中的應用.芮媛媛[1]