中職施工專業數學教改中模型的作用

魏曉紅++曾智敏

【摘要】本文基于本校施工專業數學校本教材編寫過程中對數學建模的思考，宗旨在于將復雜的問題簡單化，以一種形象的方法把專業課中的實際問題轉化為數學模型，使得我們可以用數學原理解決問題。側重在調動學生的積極性，訓練學生找到問題進而解決問題的的能力，在學習的過程中將“用數學”發揮到極致。

【關鍵詞】建筑施工；數學建模；數學教學

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）14-0178-02

一、建模在教學中的重要作用

在施工專業數學的教學中，筆者發現其專業學習中和幾何圖形相關的問題，多可以總結歸納為簡單的數學建模問題來解決。優點在于充分發揮數學的量化作用，將實際問題在理論層次上解決的同時，增加學生學習數學的趣味性。為此，我們在這類問題的整個教學過程中，很好地融入了數學建模的簡單知識，將此類刻板枯燥甚至外行覺得高深的知識給學生一個可以認知的層次。

所謂數學建模，就是應用數學的特有的語言和方法對一個現實生活存在的實際問題所做的設計，它符合“具體——抽象——具體”的認知規律，包括五個教學的基本環節：首先，創設問題情況，激發求知欲；其次，抽象概括，建立準確的模型，導入所要學習的課題；再次，研究模型，形成數學知識；然后，解決實際應用問題；最后，歸納總結深化目標。

對于中職數學應用題教學來說，數學建模教學的主要目標是培養學生形成數學意識，切實提高學生運用數學知識解決實際問題的能力。然而現實數學應用題教學的過程中，主要著眼于內部理論結構及其之間的邏輯關系，著重訓練學生的邏輯思維能力，而忽略討論和訓練如何從實際問題中提煉出數學問題，導致學生并沒有形成真正的應用意識。

二、滲透建模思想的實際應用問題

下面就聯系中職學生的知識現狀，結合多年的教學經驗，給出幾個應用的實例。例如在施工專業中，牽涉到公路、鐵路等建筑施工現場經常會遇到一些異形體的構造物。計算異形體工程量時一般采用的方法為平均面積法和棱臺體積公式，但這兩種方法均很難保證計算結果的精度。

首先，平均面積法缺乏嚴格的數學依據，一般只應用在要求計算結果精度不高的情況，如路基土石方工程量計算中；其次，土木工程施工現場所遇到的異形體一般不能滿足棱臺的條件，棱臺是在棱錐的基礎上用平行于棱錐底面的平面切割棱錐而得到，即棱臺各邊的延長線必交于一點，而施工現場異形體的各邊延長線往往交于一條線，所以采用棱臺體積公式也同樣存在弊端。

為了精確計算土木施工現場的異形體工程量，有人提出一種基于微積分的計算方法，實際上這就是一個抽取數學模型解決問題的實例。為了避開復雜的異形體但又使學生理解整個思維過程，我們在講述時通過推導圓柱體積公式為例。

如下圖取定空間坐標系O-xyz，設圓柱側棱與Z軸重合，圓柱底面位于XOY平面，以A（z）代表過點z且垂直于Z軸的截面面積。A（z）就是一全等于兩個底面的圓，取z為積分變量，它的變化區間為[0，h]，圓柱體中相應于[0，h]上任以一小區間[z，z+dz]的一薄片的體積，近似于底面積為A（z），高為dz的扁柱體的體積，即體積元素dv=A（z）dz。以A（z）為積分表達式，在閉區間[0，h]上做定積分，即得到圓柱體的體積。

整個公式的導出實際上就是一個建模的過程，將施工現場所遇到的異形體等同于數學中的不規則圖形，再根據微分的思想將其剖為一個個薄片，并且此薄片的面積可計算，然后根據積分的原理將這些面積累加起來，便是一個完整的幾何體。整個過程中雖然牽涉高等數學的微積分思想，但是邏輯思路是清晰的，很好地解決一些實際應用中不好操作的問題，給了學生形象生動又不失嚴謹客觀。

實際操作上面的例子屬于較復雜的建模，現給出一些簡單的計算實例。第一例：修筑道路需挖掘隧道，在山的兩側是隧道口A和B，在平地上選擇適合測量的點C，使得可以順利計算出隧道AB的長度。

這就是一個實際應用建模問題，需要用三角函數解決。首先，將此問題轉化為數學模型：在平地上選擇點C，測得角C為，AC距離350米，BC距離450米，其次，在圖上將此關系清晰表示出來（如圖）。接下來的工作就完全是數學問題了，已知條件是，根據余弦定理可以計算線段AB的長度，即隧道的長度。課程講述過程中，我們做了數據上的處理，將其設置成便于計算的數據，主要目的是給學生一個清晰的思維過程，幫助其掌握這種建立模型的方法。

另一例為：隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形的長是8m，寬是2m，拋物線可以用表示。問題（1）一輛貨運卡車高4m，寬2m，它能通過該隧道嗎？（2）如果該隧道內設雙行道，那么這輛貨運卡車是否可以通過？

這是一個二次函數應用的建模問題。首先，根據條件畫出隧道的簡單圖形，（如上圖）理論上卡車的通過問題轉化為橫坐標為時卡車的高度是否觸碰到拋物線的問題；同樣的道理，如果是雙車道，就是橫坐標為時卡車的高度是否觸碰到拋物線的問題。

建立這些數學模型后，所有的教學過程顯得既有趣味，又有效地解決了實際問題，使得專業中的相關問題可以精確地量化，充分發揮數學的工具作用。在我們實際的教學中，善于思考總結是很必要的，作為數學老師的引導不但是解題時的清晰思路，更重要的是給學生一個他們愿意思考并且可以思考的問題。提出問題往往比解決問題更具有難度，也最能體現學習的主動性。筆者在中職的數學教學中反復強調將專業學習的實際問題聯系數學建模就是基于這個思想：讓學生自己去找到問題—提出問題—解決問題—總結經驗。

最后以一個趣味思考作為案例的結束，再次體會數學模型的強大作用。

皮克在其曾祖遺物中發現一張羊皮上面記載著：“乘船至北緯度、西經度有一荒島，長一株松P，從松樹面北向左前方行若干步，有一紅石A，然后左拐，行同樣步數，打樁A；再從松樹面北向右前方行若干步，有一白石B，然后右拐行同樣步數，打樁B，在兩樁中點處埋藏著寶物。因為記載明確，皮克便乘船前行，在島找到了紅石（A）及白石（B），但由于年代久遠，樹已無處可尋，只能徒牢而返。你能幫皮克找到寶物嗎？

這個問題可以引導學生對直角坐標系以及方位角的相關內容的思考，在這部分內容開始作為思考引入是個很好的例子?？梢约ぐl學生的好奇心，鼓勵其主動去思考對應的數學模型和數學知識，達到學習的真正目的。

三、基于基礎課教學的思考

數學建模猶如一條連接數學應用問題與發展學生數學應用意識的紐帶，一是向“源"的方向展開，即明確知識產生、發展的背景；二是向“流”的方向深入，即展示知識的功能及在生活中的應用。如果學生能夠將數學實際問題自覺模型化，這就說明學生的數學應用意識很強了。那么解應用題建模的關鍵，不外乎是扎實的基礎知識和正確的思維。

步驟一：捕捉關鍵詞，建立數學模型。應用題一般文字敘述較長，生產、生活常識背景多，專業名詞術語多，變量符號多，互相關聯的制約因素多，正因為如此，應用問題向數學問題轉化的過程中，必須認真閱讀，對關鍵詞仔細分析，深入挖掘，摒棄其表面的敘述，抽象其數學的本質，形成數學模型。

步驟二：引進數學符號，建立數學模型。面對一道具體應用問題，在將文字敘述的語言翻譯成數學語言之際，相應的量可以用字母來表示，量與量之間的關系可以用符號來表示，這是將實際問題轉化為數學模型的基本策略，數學符號在建立數學模型中均起著舉足輕重的作用。

步驟三：運用基本公式，建立數學模型。數學教材中，每一章節都有一些基本的公式，如基本圖形的面積、體積、長度公式等；也有一些基本的相等關系，如距離=速度×時間，利潤=收入一成本、溶質=溶液×濃度等，在解決相關應用題時，這些基本公式在建立數學模型時均起到極其重要的作用。

步驟四：分離與重組，建立數學模型。如果從系統論的觀點出發，每一個應用題都是由若干個要素組成的系統。對于系統比較復雜的應用題，可以分解成若干個子系統來加以解決。對于有些應用題來說，從系統中分離出“特殊的信息”或“關鍵性的信息”，并給予優先考慮重點突破，對于建立數學模型意義深遠而重大，這就是人們常說的分離與重組策略。

步驟五：深思巧化，建立數學模型某些應用題給人的第一感覺是無從下手，對于這類的難以解決的問題，可以在深思后進行轉化，即化繁為簡，化新為舊，化動為靜，把一個相對變化的問題轉化為一個相對靜止的問題，把一個實際問題轉化為一個數學問題，不僅是思維能力的提升，而且在解應用題上有廣泛的使用和推廣價值。

此文中筆者重點是引導學生建立數學模型，沒有反復糾結于解題過程，我們認為：數學建模就是要使學生自己將數學世界轉化為現實熟悉世界再轉化為邏輯與抽象世界，對于現實的這種再構與轉化是學生內驅力激發的最有效途徑。當然，學生的認知是有坡度的，教師在實施數學建模策略時一定要意識這種坡度的存在，數學建模問題在設計中要與坡度適合，不影響學生的認知再組。

參考文獻

[1]韓中庚：數學建模方法及其應用（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2009.

[2]張順燕：數學的思想方法和應用[M]，北京：北京大學出版社，2003.

[3]劉曉玫：社會發展對數學的需求與數學教育改革[J]，數學教育學報，2000（03）：45-47.

[4]端方林：應用題中的數學建模舉隅[J].中學數學教與學，2004（08）：20-21.

[5]何小亞：數學應用題教學的實踐與思考[J]，數學通報，2000（04）：15-16.

[6]何小亞：新課程數學探究案例[J]，數學通訊，2005（07）：11.

作者簡介：

魏曉紅（1968-），女，漢族，學士，惠州市廣播電視大學講師，研究方向為中職數學教學。

曾智敏（1983-），男，漢族，學士，惠州市廣播電視大學講師，研究方向為建筑施工等專業的教學。