數學思想之我見

楊睿

數學教育自周代開始就分離出來，發展到今天，它作為一門重要的必不可少的課程，它是按照一定的目的、要求，為了培養、教育學生而專門編選、專門開設的。在進行數學教育過程中數學思想則是數學教育教學的靈魂，是數學知識的提煉和升華，是知識轉化為能力的橋梁。學習數學最終應落實在對數學思想的領悟和掌握上。

我們經常所說的數學思想、數學方法和數學思想方法這幾個概念它們不是一回事。具體表現在：數學思想是數學中的理性認識，是數學知識的本質，是數學中高度抽象概括的內容，它蘊含于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中，是數學教學的核心與精髓；數學方法則是提出、分析、處理和解決數學問題所采用的思路、方式、邏輯手段等概括性的策略；對于數學思想方法，則有狹義和廣義兩種理解，狹義認為數學思想方法是指本身的論證、運算以及應用的思想手段和方法，廣義則認為除了上述對象外還應把關于數學（包括概念、理論、方法和形態）的對象、性質、特征、作用及其產生發展規律的認識，也作為自己的研究對象。它們之間既有聯系又有區別：數學方法雖然也是理性認識，但其概括性較數學思想弱，其遷移范圍不如數學思想廣，而數學方法只是提供概括性的策略，但一般不提供解題程序，然而數學思想方法不是數學思想和數學方法的簡單機械的合并，他有自己的研究對象，是一個獨立的領域，是從整個數學的產生、發展、性質、特征、作用、功能等諸方面探討的多層次的有規律的一門學問。

數學思想就是數學的本質，是數學教學的靈魂。中學數學教學中最常見的有集合思想、結構思想、對應思想、化歸思想、極限思想、優化思想、概率統計思想、符號思想、轉換思想、對比思想等等。下面本人就中學數學教學中最重要且最基本的四種數學思想談談自己的理解和看法，與讀者共勉。

一、數學結構思想

所謂數學結構就是指一個由各種數學轉換規律組成的整體。它有三個最基本特征是整體性、轉化性和自我調節性。現代數學教學中機構思想是一種最基本的思想。從20世紀30年代起，法國著名數學學派布爾巴基學派用結構思想，把全部數學分別歸入三種基本結構：代數結構、序結構和拓撲結構。在中學數學中數學結構思想主要反映了數學知識間的廣泛關聯性。主要體現有二：一是各種數學模型的建立。表面上毫不相干、甚至互相對立的數學教材，均可以利用數學結構思想聯結起來，同意在結構觀點之中。譬如，用數學模型法分析整數和分數這兩個概念型數學模型，可知它們的關聯性表現為它們均是有理數；同時，方法型數學模型“+”、“-”，它們既關聯又對立，但可以統一在一起。一些概念型數學模型通過方法型數學模型的具體操作，可以生成結構，例如，“1”通過“+”、“-”可以生成整數結構，等等。二是知識間的相互轉換性。一個數學知識通過運算就可以轉換為另一個數學知識，如，方程可以作同解變形，代數式可以作恒等變形，幾何圖形可以從一個位置上通過圖形變換到另一個位置上等等。

二、集合思想

集合是構建數學理論大廈的基石，任何一個現代數學的分支都建立在集合的基礎之上。集合的概念是由前蘇聯數學家康托羅維奇在1872年首先提出并使用的。一個概念型數學模型都可以看做一個集合{x|P（x）}，其中P（x）為其內涵，{x|P（x）}為其外延。

常說的數形結合，就是體現了代數和幾何兩大教學分支集合間的對應關系，例如：函數y=x2 與其圖像的的對應，就是集合{f（x）|f（x）= x2 } （代數中的實數對）與集合{（x，y）| y=x2 }（幾何中的點）的對應。

從集合的觀點來看：常說中的分類討論法實質上是集合的分類，變化法則是從一個集合把問題轉移到另一個集合之中而已；而函數則是兩個集合間的一種特殊的對應。因此，使用函數法分析和處理任何數學問題，都離不開集合思想的指導。

三、化歸思想

“化歸”是指把準備解決的問題或未解決的問題，通過轉化過程，歸結為一類已經解決或輕易就能解決的問題，以求的最終解決問題。化歸思想主要體現在運用數學方法處理和解決額問題的過程之中。例如，方程模型、函數模型和不等式等模型的實際應用中就要運用相關的數學模型將實際的特殊問題轉化為數學問題，這就體現了實際問題數學化的的化歸思想；再利用數形結合法解決數學問題，一般都是在化歸思想的指導下進行幾何和代數問題之間的相互轉化，這也是化歸思想的具體體現。

四、對應思想

對應數學思想主要體現在運用數學方法分析問題和解決問題的過程之中。在運用數學模型分析問題和解決問題時，數學模型與其原型之間必然存在著一個對應項；數形結合法則體現了數與形之間的對應；函數則是一種特殊的對應；平面直角坐標系則是平面的任一點與一個有序數對之間的特殊對應等等。

總之，數學思想很多，它都蘊涵于分析、處理和解決各類數學問題的過程之中，它是數學中的精髓，是聯系數學中各類知識的紐帶，它對數學的解題和研究起著十分重要的指導作用，只有深刻領悟直至掌握這些數學思想才能讓我們在數學教育教學中做得更好，更優。endprint