數(shù)學思想之我見

楊睿

數(shù)學教育自周代開始就分離出來，發(fā)展到今天，它作為一門重要的必不可少的課程，它是按照一定的目的、要求，為了培養(yǎng)、教育學生而專門編選、專門開設(shè)的。在進行數(shù)學教育過程中數(shù)學思想則是數(shù)學教育教學的靈魂，是數(shù)學知識的提煉和升華，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。學習數(shù)學最終應(yīng)落實在對數(shù)學思想的領(lǐng)悟和掌握上。

我們經(jīng)常所說的數(shù)學思想、數(shù)學方法和數(shù)學思想方法這幾個概念它們不是一回事。具體表現(xiàn)在：數(shù)學思想是數(shù)學中的理性認識，是數(shù)學知識的本質(zhì)，是數(shù)學中高度抽象概括的內(nèi)容，它蘊含于運用數(shù)學方法分析、處理和解決數(shù)學問題的過程之中，是數(shù)學教學的核心與精髓；數(shù)學方法則是提出、分析、處理和解決數(shù)學問題所采用的思路、方式、邏輯手段等概括性的策略；對于數(shù)學思想方法，則有狹義和廣義兩種理解，狹義認為數(shù)學思想方法是指本身的論證、運算以及應(yīng)用的思想手段和方法，廣義則認為除了上述對象外還應(yīng)把關(guān)于數(shù)學（包括概念、理論、方法和形態(tài)）的對象、性質(zhì)、特征、作用及其產(chǎn)生發(fā)展規(guī)律的認識，也作為自己的研究對象。它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別：數(shù)學方法雖然也是理性認識，但其概括性較數(shù)學思想弱，其遷移范圍不如數(shù)學思想廣，而數(shù)學方法只是提供概括性的策略，但一般不提供解題程序，然而數(shù)學思想方法不是數(shù)學思想和數(shù)學方法的簡單機械的合并，他有自己的研究對象，是一個獨立的領(lǐng)域，是從整個數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、性質(zhì)、特征、作用、功能等諸方面探討的多層次的有規(guī)律的一門學問。

數(shù)學思想就是數(shù)學的本質(zhì)，是數(shù)學教學的靈魂。中學數(shù)學教學中最常見的有集合思想、結(jié)構(gòu)思想、對應(yīng)思想、化歸思想、極限思想、優(yōu)化思想、概率統(tǒng)計思想、符號思想、轉(zhuǎn)換思想、對比思想等等。下面本人就中學數(shù)學教學中最重要且最基本的四種數(shù)學思想談?wù)勛约旱睦斫夂涂捶ǎc讀者共勉。

一、數(shù)學結(jié)構(gòu)思想

所謂數(shù)學結(jié)構(gòu)就是指一個由各種數(shù)學轉(zhuǎn)換規(guī)律組成的整體。它有三個最基本特征是整體性、轉(zhuǎn)化性和自我調(diào)節(jié)性。現(xiàn)代數(shù)學教學中機構(gòu)思想是一種最基本的思想。從20世紀30年代起，法國著名數(shù)學學派布爾巴基學派用結(jié)構(gòu)思想，把全部數(shù)學分別歸入三種基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)。在中學數(shù)學中數(shù)學結(jié)構(gòu)思想主要反映了數(shù)學知識間的廣泛關(guān)聯(lián)性。主要體現(xiàn)有二：一是各種數(shù)學模型的建立。表面上毫不相干、甚至互相對立的數(shù)學教材，均可以利用數(shù)學結(jié)構(gòu)思想聯(lián)結(jié)起來，同意在結(jié)構(gòu)觀點之中。譬如，用數(shù)學模型法分析整數(shù)和分數(shù)這兩個概念型數(shù)學模型，可知它們的關(guān)聯(lián)性表現(xiàn)為它們均是有理數(shù)；同時，方法型數(shù)學模型“+”、“-”，它們既關(guān)聯(lián)又對立，但可以統(tǒng)一在一起。一些概念型數(shù)學模型通過方法型數(shù)學模型的具體操作，可以生成結(jié)構(gòu)，例如，“1”通過“+”、“-”可以生成整數(shù)結(jié)構(gòu)，等等。二是知識間的相互轉(zhuǎn)換性。一個數(shù)學知識通過運算就可以轉(zhuǎn)換為另一個數(shù)學知識，如，方程可以作同解變形，代數(shù)式可以作恒等變形，幾何圖形可以從一個位置上通過圖形變換到另一個位置上等等。

二、集合思想

集合是構(gòu)建數(shù)學理論大廈的基石，任何一個現(xiàn)代數(shù)學的分支都建立在集合的基礎(chǔ)之上。集合的概念是由前蘇聯(lián)數(shù)學家康托羅維奇在1872年首先提出并使用的。一個概念型數(shù)學模型都可以看做一個集合{x|P（x）}，其中P（x）為其內(nèi)涵，{x|P（x）}為其外延。

常說的數(shù)形結(jié)合，就是體現(xiàn)了代數(shù)和幾何兩大教學分支集合間的對應(yīng)關(guān)系，例如：函數(shù)y=x2 與其圖像的的對應(yīng)，就是集合{f（x）|f（x）= x2 } （代數(shù)中的實數(shù)對）與集合{（x，y）| y=x2 }（幾何中的點）的對應(yīng)。

從集合的觀點來看：常說中的分類討論法實質(zhì)上是集合的分類，變化法則是從一個集合把問題轉(zhuǎn)移到另一個集合之中而已；而函數(shù)則是兩個集合間的一種特殊的對應(yīng)。因此，使用函數(shù)法分析和處理任何數(shù)學問題，都離不開集合思想的指導。

三、化歸思想

“化歸”是指把準備解決的問題或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或輕易就能解決的問題，以求的最終解決問題。化歸思想主要體現(xiàn)在運用數(shù)學方法處理和解決額問題的過程之中。例如，方程模型、函數(shù)模型和不等式等模型的實際應(yīng)用中就要運用相關(guān)的數(shù)學模型將實際的特殊問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這就體現(xiàn)了實際問題數(shù)學化的的化歸思想；再利用數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學問題，一般都是在化歸思想的指導下進行幾何和代數(shù)問題之間的相互轉(zhuǎn)化，這也是化歸思想的具體體現(xiàn)。

四、對應(yīng)思想

對應(yīng)數(shù)學思想主要體現(xiàn)在運用數(shù)學方法分析問題和解決問題的過程之中。在運用數(shù)學模型分析問題和解決問題時，數(shù)學模型與其原型之間必然存在著一個對應(yīng)項；數(shù)形結(jié)合法則體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對應(yīng)；函數(shù)則是一種特殊的對應(yīng)；平面直角坐標系則是平面的任一點與一個有序數(shù)對之間的特殊對應(yīng)等等。

總之，數(shù)學思想很多，它都蘊涵于分析、處理和解決各類數(shù)學問題的過程之中，它是數(shù)學中的精髓，是聯(lián)系數(shù)學中各類知識的紐帶，它對數(shù)學的解題和研究起著十分重要的指導作用，只有深刻領(lǐng)悟直至掌握這些數(shù)學思想才能讓我們在數(shù)學教育教學中做得更好，更優(yōu)。endprint