開放題：基本數學活動經驗積累的新載體

王晉遠

數學活動經驗的積累是提高學生數學素養的重要標志，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果，需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。數學開放題問題解決具有發散性，其答案不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想象、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，探求多個解決問題的方向。因此，開放題是積累基本數學活動經驗的重要載體。

一、在策略開放中積累多向思維基本數學活動經驗

數學活動經驗是學生在學習活動過程中所獲得的，離開了活動過程，就不會形成有意義的數學活動經驗。在策略開放解決問題教學中，學生自主思考、體驗解決問題策略的多樣性和可行性，積累多向思維基本數學活動經驗。

案例一：計算雞蛋的體積

小學六年級學生學習了求長方體、正方體、圓柱體、圓錐體等規則形體的體積知識后，老師專門安排了一次開放性數學活動：把全班同學分成6個人為一個小組，分別圍坐在一起，每個組的桌子上均放有1個雞蛋、1盆水、1個矩形塑料盒、1個茶缸和1把尺子，要求每個組的同學動腦筋想辦法，齊心協力計算出雞蛋的體積。

經過充分討論，每個小組都有了各自的測算方法，并期望得到老師和其他同學的認可，全班同學人人欲當“發明者”。

老師特意為他們安排了交流的機會，一人發言，多人補充，其他同學指出不足。

生1：我把雞蛋看作近似圓柱體，在心里適當“割補”，測量出它的底面半徑和高進行計算。

生2：這種方法計算出的體積不夠精確，我們可以把雞蛋搗破，把蛋黃、蛋清、擠碎后的蛋殼都倒入圓柱體的杯子里攪勻，測量杯子的底面直徑和蛋汁在杯中的深度再計算。

生3：利用橡皮泥捏出一個與原雞蛋大小、形狀完全一樣的“雞蛋”，再改成圓柱體測量計算。

生4：把雞蛋放入圓柱體杯子里，注滿水，再取出雞蛋，空出的體積便是雞蛋的體積。

生5：把杯子裝滿水，再放入雞蛋，溢出水的體積就是雞蛋的體積。

……

師：剛才大家想出了這么多的方法，各不一樣，都有道理。下面請大家運用桌上已有的材料，測量計算出雞蛋的體積來，要求簡便易行、科學準確。

頓時教室內就像沸水滾開了鍋，各小組合理分工，配合默契，持蛋、灌水、測量、計算，很快算出了結果。

在教學中注重結合具體的學習內容，設計有效的開放性數學探究活動，讓學生在自主探索與合作交流中去思考，去質疑，去辨析，去釋疑，直至豁然開朗，積累多向思維基本數學活動經驗。

二、在開放思考中積累發散思維基本數學活動經驗

杜威認為：“教育就是經驗的改造或改組。這種改造或改組，既能增加經驗的意義，又能提高指導后來經驗進程的能力。”在解決數學問題的過程中，學生通過嘗試、探究，突破固有思維，在開放性思考中積累發散思維基本數學活動經驗。

案例二：解決行程中的數學問題

問題：小明和小軍分別從甲乙兩地同時出發，在甲乙兩地之間行走（到達另一地后就馬上返回）。他倆在離甲地5千米處第一次相遇，在離乙地3千米處第二次相遇。問他們兩人第9次相遇的地點離乙地是多少千米（相遇指迎面相遇）？

分析：學生在解這道數學題的過程中，很容易受到常規思維的影響，只考慮第二次相遇時小明和小軍各有一個轉身這一種情況，僅僅得到一個答案。事實上，這是一道開放性題目，需要開放思考，根據小明和小軍的運動情景進行分類討論。

思考：依題意第一次相遇，小明和小軍一共走了一個甲乙兩地的路程，小明走了5千米。第二次相遇，小明和小軍一共走了三個甲乙兩地的路程，小明走了5×3=15（千米），且離乙地3千米時相遇。此時，分三種情況進行討論：

第一種情況：第二次相遇時小明和小軍各有一個轉身：甲乙兩地相距15-3=12（千米）。從第二次相遇開始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷12=7……1。此時，小明走完了7個全程還需要從乙地向甲地走1千米，即第9次相遇的地點離乙地是1千米。

第二種情況：第二次相遇時小明已兩次轉身，而小軍未轉身：甲乙兩地相距（15+3）÷3=6（千米）。從第二次相遇開始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷6=14……1。此時，小明走完了14個全程還需要從甲地向乙地走1千米，即第9次相遇的地點離乙地是6-1=5（千米）。

第三種情況：第二次相遇時小軍已兩次轉身，而小明未轉身：甲乙兩地相距15+3=18（千米）。從第二次相遇開始，下一次相遇，小明和小軍一共要走2個甲乙兩地的路程。那么第9次相遇，小明和小軍共走了1+2×（9-1）=17（個）甲乙兩地的路程。小明走了5×17=85（千米），85÷18=4……13。此時，小明走完了4個全程還需要從甲地向乙地走13千米，即第9次相遇的地點離乙地是18-13=5（千米）。

開放性思考為學生提供了更為廣闊的思維空間，在學生嘗試、探究、開放思考中積累了發散思維的數學活動經驗。

三、在開放反思中積累創新思維的數學活動經驗

史寧中教授在論及創新能力時指出：“創新能力依賴于三個方面：知識的掌握、思維的訓練、經驗的積累，三方面同等重要。”教學中，要通過開放性反思，克服負面的活動經驗，提高應變能力與創新能力，積累創新思維的數學活動經驗。

案例三：旅游中的數學問題。

師出示購票信息。

A.大人每位160元，小孩每位40元

B.團體5人以上（含5人）每位100元

師：如果是2個小孩、3個大人，怎樣購票合理？

生：選B方案便宜。

師：如果是3個小孩、2個大人，怎樣購票合理？

生：選A方案便宜。

師：為什么同樣是5個人，一種是B省錢 ，一種是A省錢？你發現其中的秘密了嗎？

生：一種是大人多孩子少，一種是孩子多大人少，大人多孩子少時選B省錢，孩子多大人多時選A省錢 。

師：如果是4個大人，4個孩子呢？

生：選A與B組合購票方案便宜。

師：看來我們每個人都要學會精打細算，合理購票。

……

對于如果是4個大人，怎樣購票比較合理這一問題，學生很容易受已經形成的活動經驗的影響，選用A方案即按每位160元，則4人需要640元。其實如果打破常規思維，排除已有經驗的干擾，買一張5人的團體票只用500元，可以節省140元，如果將多買的一張票找一個游客一起進去，就又可以得到100元或160元，這樣的話，前后共節省240元或300元。

反思是學生數學基本活動經驗提煉和升華的過程，要引導學生在開放性“應用和反思 ”中積累創新思維基本活動經驗，增強學生具體問題具體分析的能力，提高學生的創新能力。

總之，活動經驗要在學習活動的過程中積累，“積累”也需要一個過程。在解決開放題過程中，引導學生把現實、具體的生活經驗，提升為理性的數學經驗，增強學生的數學綜合素養。

（作者單位：陜西省永壽縣教研室）endprint