由一道中考壓軸題談學生的作圖能力

張志鋒

課堂教學是鍛造學習技能、學習品質為目的和追求的活動.中考數學試題的設置，也是遵循和按照新課程標準提出的科學要義和能力標準而精心預設.眾所周知，數學精致地做到了精確性的“數”和直觀性的“形”科學融合、高度結合.在探究解答數學習題進程中，需要學習者靈活、高效地運用數與形的互補、互促特點，以直觀、直白、形象的圖形符號進行認知和解析.對數學圖形的操作技能是初中數學課堂學生群體解析數學案例的必備能力之一，同時是主體探析數學內涵的必需素養之一.

近階段筆者在“函數”章節試題教學中，在中考壓軸題（例1）的講解中發現有部分學在第（2）小題中用分割法求圖形面積時輔助線不知如何畫，第（3）小題中對于三角形相似的一些基本圖形不熟悉導致圖形畫不出.因此深刻體會和領悟到，初中學生數學作圖能力的養成對提升解題能力、提高學生中考成績，具有舉足輕重的作用.提升學生的作圖能力應成為初中數學教師的重要使命之一，予以深入貫徹和執行.

例1（2012年蘇州）已知拋物線y=14x2-14（b+1）x+b4 （b是實數且b>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C.（1）點B的坐標為，點C的坐標為（用含b的代數式表示）；（2）請你探索在第一象限內是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.

一、初中生數學作圖能力之現狀

根據2011年頒布的義務教育階段數學課標要求精神，教學工作者要培養學生解決實際問題，能從主觀上和客觀上主動運用數學思維的角度，借助已有知識和已有解題方略進行案例有效解決.作圖能力是學生解決實際問題的重要策略之一.但筆者發現，初中生數學作圖能力現狀不容樂觀，需要引起重視.一是數學作圖的能動意識薄弱.很多初中生在面對數學問題案例時，特別是在解析數學題意條件之間的關系時，第一反應沒有落實在數形結合解決數學問題的點子上來，借助于畫圖工具，將案例的呈現條件之間的內在關聯弄清理順，而是固執地“摳”題意，想辦法.內心沒有利用作圖進行問題解答的主動意識和能動意識.二是數與形之間的結合度不高.眾所周知，數學作圖，其活動過程是以形補數的落實活動，是參與主體數學的“數”和符號的“形”有機融合、高度濃縮的進程.部分初中生在數學案例的作圖過程中，不能夠將作圖看作是案例條件內容的鞏固過程，展現過程以及認知過程，容易將數學問題條件中的一些關鍵內容和細枝末節忽視掉，導致所作的圖形與實際問題案例“差之毫厘，謬之千里”.三是圖形條件認知沒有深度.在問題案例的圖形展示過程中，學習實踐者要借助于圖形，找尋出問題條件之外所隱含的豐富數學知識點，并通過添加輔助線的形式，將問題條件內容之間聯系有效呈現，為解決問題搭建聯系溝通橋梁紐帶.但有些初中生數學素養不高、解決技能不優，在一些具體的問題案例作圖中，靈活思維不夠、拓展不夠深入，難以從復雜情況中找出輔助線添加的時機，出現解析思維的“卡殼”，解題活動不夠順利.

二、錘煉數學作圖能力的策略建議

圖形使用能力是新課標對學習對象提出的一個重要標尺，同時也是對教學工作者提出的一個重點任務.加之近幾年數學中考政策的設置以及試題考查的要求和以往有所變化，對初中生圖形構造和分析運用水平的考量標準相對越高愈深.數學圖形運用，利用圖形技能的培養已勢在必行，切實落實，加強培養.

一是強化數學知識素養的積淀.在數學作圖進程中實施者需要借助于深厚豐富的數學知識內容進行動手操作，這是對數學知識內容的有效運用、綜合統籌的活動進程.教學實踐證明，具有正確操作方法、具有良好作圖能力、具有高效析圖能力的學生，其數學知識素養較為深厚，數學解析技能較為優良.因此，教師應切實初中生數學基礎知識的積淀工作，將平時數學知識講解活動做實，引導和指導初中生將數學教材關鍵要點、核心精髓等深刻的理解和全面的領會，在積蓄廣博知識素養中，開展作圖活動，打下堅實的根基.

二是重視數學作圖活動的教學.正確的作圖方法是學生作圖能力素養的重要內涵以及表現形式之一.作圖方法的教學，教者應將此貫穿落實于平時數學教學的點點滴滴、時時刻刻之中，借助于數學問題這一有效載體，引導初中生根據數學案例內容，將抽象問題直觀、具體、生動展示，使其思維活動實現從抽象思維向形象思維轉變.如“四邊形”這一章節中，在講解“在一個△ABC中，E是邊AD上的中點，BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD.（1）求證：四邊形AFDC是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.”數學問題講解中，教師組織學生開展數學問題條件及要求的感知和閱讀活動，并讓他們根據上述數學問題條件所揭示的數學條件關系，進行問題條件的“演化”活動，進行數學圖形的演示活動，根據問題條件逐步清晰展示圖形符號，同時，組織學生結合數學案例條件完善該數學圖形，進行數學案例的條件分析和歸納活動，從而實現數與形之間的有機融合，提高其作圖效果.

三是強化案例作圖過程的訓練.筆者以為，作出符合問題條件及要求的圖形，是作圖能力的較低層次，只是將“數”轉化為“形”的活動，如何從“數”與“形”中，歸納提煉出問題內在的復雜數量關系以及豐富知識外延，找尋出解決問題的有效突破口，添加已知與未知之間的輔助線“橋梁”是作圖能力發展的高級形式以及學生作圖水平的高層次展示.

例2（2014年蘇州）已知⊙O上依次有A、B、C、D四個點，AD=BC，連接AB、AD、BD，弦AB不經過圓心O，延長AB到E，使BE=AB，連接EC，F是EC的中點，連接BF.（1）若⊙O的半徑為3，∠DAB=120°，求劣弧BD的長；（2）求證：BF=12BD；（3）設G是BD的中點，探索：在⊙O上是否存在點P（不同于點B），使得PG=PF？并說明PB與AE的位置關系.

此題的關鍵是正確做出輔助線，很多學生對（2）求證：BF=12BD無從入手，如果學生能正確認識三角形中位線等有關線段特殊數量關系的基本圖形的話，易得輔助線是連接AC.

通過對近幾年的中考命題，特別是數學學科最后壓軸題的研析，可以發現，作圖能力的高層次要求在壓軸題的解答過程中，表現的尤為突出.這就要求初中數學教師要重視對數學作圖能力高層次內容的培養，善于引導和指導學生深層次理解和研析數學條件內涵，并能練習與之相關的基本圖形，找尋添加輔助線的關鍵之處，從而將解題薄弱處和連接處進行有效攻克，實現數學案例的有效解決.

新課程提出的目標要求以及中考命題設置的要求，都將學生作圖能力水平作為考核的一個必查內容.教師應認真實施、精心組織，細心指導，嚴格訓練，在科學指點、深入踐行中，實現包括作圖能力水平在內的解析問題能力的大提升.