巧用端點 回避討論
——破解一類“不等式恒成立求參數(shù)范圍”問題

山東 郭允遠

巧用端點 回避討論
——破解一類“不等式恒成立求參數(shù)范圍”問題

山東 郭允遠

含參數(shù)的不等式在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，求參數(shù)的范圍問題，是導數(shù)應用中的重要題型，在高考中多以壓軸題呈現(xiàn)，此類問題通常是通過對參數(shù)分類討論、求導、構(gòu)造新函數(shù)、再求導等多步驟完成，過程之復雜令考生望而生畏，甚至直接舍棄第二問.對此，本文給出解決此類問題的一種方法，可以避免繁瑣的分類討論，對有些繁難的題目可以輕松破解.

此方法的思路是在審題中注意研究已知區(qū)間左端點的函數(shù)值或?qū)Ш瘮?shù)值，并依據(jù)恒成立的不等式(或其變形)，構(gòu)造一個必然成立的不等式，解此不等式得到參數(shù)的一個范圍(必要條件)；然后再證明該范圍(或該范圍內(nèi)的一部分)是“不等式恒成立”的充分條件. 即從“不等式恒成立”的必要條件和充分條件兩個方面，求得參數(shù)的取值范圍.

【例1】(2016·臨沂11月質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax,a∈R.

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)當m≥0時，討論f(x)與g(x)的圖象的交點個數(shù).

解：(Ⅰ)略.

① 因為g(1)=0，由g(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，則必有g(shù)′(1)≤0.

此解法由①②兩個方面構(gòu)成，通過①由給定區(qū)間左端點的導函數(shù)值構(gòu)造不等式g′(1)≤0，求得a的范圍，但此范圍是原不等式恒成立的必要條件；又通過步驟②證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件.綜合①②知，所求a的范圍即是原不等式恒成立的充要條件，故而正確.

【例2】已知函數(shù)f(x)=alnx,a∈R.

(Ⅱ)若對?x∈[1,e]，都有f(x)≥-x2+(a+2)x成立，求a的取值范圍.

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)①令u(x)=f(x)+x2-(a+2)x=alnx+x2-(a+2)x，由題意，對?x∈[1,e]，u(x)≥0恒成立，則必有u(1)=1-(a+2)≥0，解得a≤-1.

因為x∈[1,e]，所以x-1≥0，2x-a≥2x+1gt;0，所以u′(x)≥0，則u(x)在[1,e]上為單調(diào)增函數(shù)，則u(x)≥u(1)≥0，即原不等式成立.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為a≤-1.

此解法是由給定區(qū)間左端點的函數(shù)值構(gòu)造一個不等式，求得a的范圍，然后通過②證明此范圍是原不等式恒成立的充分條件.

【例3】已知函數(shù)f(x)=a2x3-3ax2+x+1，當x∈[1,+∞)時，f(x)gt;0，求實數(shù)a的取值范圍.

解：①令f(1)gt;0，得a2-3a+2gt;0，解得alt;1或agt;2.

②當a≤0時，由x∈[1,+∞)，易得f(x)=a2x3-3ax2+x+1gt;0，即當a≤0時，f(x)gt;0在x∈[1,+∞)上恒成立；

綜上，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0]∪(2,+∞).

本題同例2的方法先求得a的一個范圍，但需要對此范圍進行甄別，通過檢驗去除不合題意的部分，然后證明其余范圍是原不等式恒成立的充分條件.

【例4】(2015·山東理)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(Ⅱ)若?xgt;0,f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

解：(Ⅰ)略；

(Ⅱ)當a=0時，對?xgt;0,f(x)gt;0顯然成立；

山東省臨沂市教育科學研究中心)