巧妙賦值判斷函數零點問題

安徽 張同語

巧妙賦值判斷函數零點問題

安徽 張同語

函數零點問題是近年來高考數學試題中的重要的熱點題型，在這類題型中常常涉及函數的零點存在性的判斷問題，如何運用零點存在定理進行合理賦值，以判斷出函數的零點的存在性呢？本文從以下幾方面進行探討：

一、通過適當賦值使函數表達式中的某些項變成常數

【例1】已知函數f(x)=ax-ln(x+1)，g(x)=ex-x-1，曲線y=f(x)與y=g(x)在原點處的切線相同.

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)當x≥0時，g(x)≥kf(x)，求k的取值范圍.

解：(Ⅰ)略.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當x=0時，f(x)取最小值0，故f(x)≥0，即ln(x+1)≤x，從而ex≥x+1.

(ⅱ)當klt;1時，因為f(x)≥0，所以f(x)≥kf(x)，由(ⅰ)知g(x)-f(x)≥0，所以g(x)≥f(x)≥kf(x),故g(x)≥kf(x).

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綜上，實數k的取值范圍為(-∞，1].

二、通過適當賦值使得函數表達式可提取參數

【例2】設agt;1，函數f(x)=(1+x2)ex-a.

(Ⅰ)f(x)的單調區間；

(Ⅱ)證明f(x)在(-∞，+∞)上僅有一個零點.

解：(Ⅰ)因為f′(x)=2xex+(1+x2)ex,x∈R,所以對于任意x∈R,都有f′(x)≥0且不恒為0，所以f(x)的單調遞增區間為(-∞，+∞)，無單調遞減區間.

三、通過適當賦值使得函數表達式變多項為單項

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間；

(Ⅱ)當m≥0時，討論f(x)與g(x)的圖象的交點個數.

解：(Ⅰ)略.

綜上所述，函數F(x)有唯一零點，即兩函數圖象總有一個交點.

本文所述三種賦值策略在判斷函數零點存在問題中，有著較為廣泛的應用，并且易于理解，思路也較為自然順暢，希望讀者能夠觸類旁通，提高解題思維的有效性.

安徽省五河縣第一中學)