對一道湖北省調考試題的思考

湖北 李紅春 孔 峰

對一道湖北省調考試題的思考

湖北 李紅春 孔 峰

由湖北省教育學會主辦的2017年湖北省高三四月調考結束了，其中理科第12題引發了廣大教師的普遍關注，筆者有幸和命題者——武漢市教科院孔峰老師圍繞此題的源頭、命題意圖和解題方法當面展開深入交流.下面就是筆者和孔峰老師的所思所想，希望對大家的教學有所啟發.

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1.試題的命制

命制試題有原創和改編兩種途徑，絕大多數題是從以往的陳題中改編的，這些試題包括往屆的高考真題、各地的調考題、競賽題、課本習題等.數學命題的策略有改造(包括引參、連壁、取意、更境)、構造(包括構圖和構式)及創造，特別指出的是往屆高考試題一直是新高考試題的重要來源，我們的高考命題專家一直重視傳承和相互借鑒，他們堅持“命題是一種自然的發展，不會有突變，不能隔斷歷史”的觀點.本題就是由2009年全國高考卷理科第16題改編而成.

2.試題的定位

考卷中的試題往往可以分為五類，分別是：①平庸試題： 考查某單一的知識點,如某個概念或某種運算.②基礎試題：考查兩個或兩個以上的知識點，需作一些判斷，選擇合適的方法.③中檔試題：考查多個知識點，需選擇合理方法，對概念及公式理解要很準確.④中高檔試題：考查多個知識點，需要靈活地選取數學方法和數學思想，綜合分析、思考，正確決策，才能解決問題.⑤壓軸題：考查知識點不一定多，但需要的方法要更合理，技巧要更高，考查創新思維和綜合運用知識的能力，對解題方向性與途徑的選擇合理性要求要更高.數學命題要突出試題的層次性，對文科考生的考查重視數學知識的工具性與直觀性、形象性,強調知識運用的熟練性.而對理科考生的考查突出數學概念的深刻性和抽象性，強調知識運用的靈活性與合理性.本題作為選擇題的最后一題，屬于壓軸題，有著較大的區分度，考查的知識點不多，但要求對知識融會貫通，對計算的合理性有充分的預測，某些變形技巧性強.

3.試題的解法

選填題的命制一般遵循“活”與“寬”的原則，即解題運用的不是死知識，而是將熟悉的、基本的東西“拿”來解決陌生的問題.好的試題能體現小中見大，解題入口寬，解法思路廣等特點.本題在解法上具有較強的靈活性與多樣性，內涵豐富，解法多樣，精彩紛呈，給考生提供了充分展現自己才華和能力的空間.

視角1：選直線的斜率為變量

=(y1-y2)(x1-x2)

=k(x1-x2)2

=k[(x1+x2)2-4x1x2]

視角2：選直線的傾斜角為變量

視角3：選弦心距為變量

視角4：借助直線的參數方程

解法1是通法，借助設而不求的思想，將四邊形的面積表示為斜率k的函數，再借助導數求解，體現了導數的普遍工具性價值；解法2充分考慮了圓的特殊性，在表示弦長時用了垂徑定理，其中將二倍角的正弦轉化為斜率k是難點，這就需要我們熟練理解斜率與傾斜角的關系，熟練掌握“化弦為切”的變形技巧；解法3以直線的傾斜角為變量，直接從圖形出發，尋找邊角關系，體現了平面幾何知識在解析幾何中的應用價值，另外，對三角函數先換元再求導，大大簡化了計算；解法4選擇弦心距作為變量，較為簡潔；解法5選用直線的參數方程求解，計算量小，凸顯了選考內容的工具價值，解法4和解法5對多元均值不等式的合理使用，特別是配湊的技巧要求較高，適合有競賽經歷的學生.

4.啟示

武漢黃跛區第一中學盤龍校區 武漢市教育科學研究院)