源于教材 高于教材
——一道教材習題的改編之“旅”

四川 蔡勇全

源于教材 高于教材
——一道教材習題的改編之“旅”

四川 蔡勇全

縱觀近年來的高考數學試題，許多題目“取材于教材，但又不拘泥于教材”，教材中例題、習題的身上往往能找到它們的“基因”，它們是對教材原題的變形、改編與綜合.我們知道，教材中的例題、習題是編者精心構思的典型題目，也是重要結論、命題、定理或數學思想的載體，它們的延伸、轉化和拓展呈現了豐富的數學知識，因而教材是編擬各類試題的源泉.對教材原題的變式、挖掘、探究，既能抓住數學本質，加深數學理解，又能提高解題能力，促成思維的廣闊性、深刻性和靈活性.本文以一道教材習題為例，力求體現改編探究的思維過程，供大家參考.

上述題目是人教A版必修5第91頁練習1中的第(2)題，屬于線性規劃范疇.線性規劃是近幾年來新課標教材增添的內容，其內容本身就已經頗具新穎性，而且線性規劃問題具有知識交融、解答靈活、應用較廣等特點，各種數學思想方法也能較好地體現在其解答過程中，因而在歷年高考中常考不衰，久考仍新，以其為載體、與其它知識綜合融匯的題目無一不體現了一定的創新性.

為順利說明后續的編擬過程，有必要先簡解此題，根據約束條件，作出的可行域為下圖中的三角形ABC內部區域(含邊界):

當y=-2x+z過點B(0，2)時，zmin=2；當y=-2x+z過點C(6，6)時，zmax=18.順便提一下，從可行域來看，顯而易見，x取得最大值6的同時y也取得最大值6，因此zmax=2×6+6=18，但這不影響后續題目的編擬.

下面從改編成題的渠道以及對設置問題的方式進行創新的辦法來編擬相關的題目.

我們根據最大值與最小值的關系可以得到改編1:

改編1的新穎性肯定不夠，觀察改編1，不難發現，目標函數z=-2x-y=-(2x+y)，因此當y=-2x-z過點B(0，2)時，zmax=-2；當y=-2x-z過點C(6，6)時，zmin=-18，由此不免產生疑問:如果一開始并不知道“(2x+y)”之前的系數的正負，結果又將如何呢？由此得到改編2:

一改前兩個題目的封閉性，改編2成為了開放、發散的探索類題目，可以有效檢驗學生思維的深刻性，已經呈現一定的創新性了，為后續編擬的方便，現簡解如下:z=2ax+ay=a(2x+y)，若agt;0，z=2ax+ay過點B(0，2)時，zmin=2a，過點C(6，6)時，zmax=18a；若a=0，則z=0；若alt;0，z=2ax+ay過點C(6，6)時，zmin=18a，過點B(0，2)時，zmax=2a.

在改編2的基礎上，再進一步思考，如果從形式方面下設置問題的方式進行創新，即把問題的條件與結論交換位置，使之成為逆向條件探索性問題，題目又將呈現怎樣的變化呢？于是可以得到改編3:

有了上述改編2的簡解作為基礎，改編3是容易突破的，只可能是agt;0，18a=54，則a=3.當然，改編3仍較好地檢測了分類與整合的數學思想.改編2的簡解實際上告訴我們，目標函數的最大值與最小值均與實數a的符號相同，因此，如果對條件中的最值“動手術”，還可產生如下逆向條件探索創新型題目:

改編3，4，5，6的最值均不為0，說明a≠0.另外，改編3，4，5，6的局限性在于等式右邊的參數僅有a，如果x與y前面的參數不相同，那么題目也不可能再要求把兩個參數同時求出，勢必改變探索目標，于是得到改編7:

一方面，對于改編7，我們需要思考，目標代數式是否還有其它類型，答案是肯定的，諸如:

同樣針對改編7，若a，b同為負數，則題目中最值的表述一定會完全相反，因此又可得到改編10:

類似由改編7向改編8，9的過渡，對于改編10，一方面，改變目標代數式，可以得到:

改編7，9，10，12突出體現了線性規劃與基本不等式知識的交匯性.另外，受改編2，3，4，5，6的啟發，我們不免想到，如果最初的目標函數不是線性的，而是其他類型，但同樣要設計成逆向條件探索性問題，又當如何呢？于是可以進一步得到改編13這一創新型題目:

另外，在改編13的基礎上進一步思考:既然最值問題往往與不等式恒成立問題掛鉤，那何不把不等式恒成立問題融入改編13中，這樣一來，借助不等式恒成立問題的特點，既可以有效檢測思維的邏輯性，也可由不等式恒成立問題解法的靈活與多樣，檢測思維的創造性，因此順理成章就產生了改編14:

改編14的創新之處體現于線性規劃與不等式恒成立問題的交匯，綜合檢測線性規劃、不等式變形、最值、不等式恒成立、分類整合數學思想等知識，難度較大.另外，根據可行域可知，改編14中恒成立不等式的分母2x+4恒為正，因此去分母后進一步得到難度稍大的改編15:

改編14與改編15皆屬于線性規劃與不等式恒成立問題的交匯性創新題，從中可以看到，創新型題目的命制仍然不要忘記貫徹“對支撐學科知識體系的主干知識要重點考查”這一核心理念.

接下來，我們應該思考，本案例的改編還有哪些視角呢？改編過程還可以持續下去嗎？比如，同樣是線性規劃與不等式恒成立結合的創新型問題，能否就約束條件進行改編呢？于是，經過一番斟酌思考，得到改編16:

存在與任意猶如一對“孿生兄弟”，它們往往聚在一起為大家所研究，因此，能否把改編16這一“恒成立”問題演變為“能成立”問題呢？答案是肯定的，比如下面的改編17:

事實上，改編17的本質是求當直線2x-y=6經過可行域時實數λ的取值范圍，進一步思考，同樣是“能成立”問題，題目中的“能成立”等式能否改為“能成立”不等式呢？于是得到:

這里點M(m，n)的個數是1個、無數個還是任意一個呢？經過慎重思考，還應有如下情形:

對比改編21與改編16，雖然同屬不等式恒成立問題，但絕妙之處在于改編16把參數放在了約束條件中，而改編21把參數放在了恒成立不等式中.

回到改編16，進一步思考，既然約束條件改編成了含參形式，那么題目最終的目的一定是探求參數的取值或取值范圍，因此還必須給出一定的輔助條件，從而題目自然而然就演變成為了逆向條件探索創新型題目，那么其它應給出的條件還有哪些形式呢？這一點不難想到，比如區域的面積，目標函數的最值等，于是得到如下改編22，23，24，25:

類似于前文改編3，4，5，6那樣的逆向條件探索性問題向改編7，8，9，10，11，12這樣的給出相關最值條件而另求最值的問題的演進，改編25可進一步改編為:

前面的一系列改編注重從條件本質的增刪或改換來實現，那么既然改編了這么多，現在不妨回過頭來反思，回到原點，回到問題的本來面目，即如果不改初衷，維持教材原型的中心任務，但用其他知識來創新地襯托目標函數，是否可行呢？反復思考，有了下面的改編27:

用平面向量的數量積來體現目標函數，新穎別致，但不可否認的是，這種給出目標函數的方式略顯直接，事實上，目標函數的給出還可再隱晦一些，比如:

如此設計，學生找到目標函數就成為了解題任務之一，這不正是學科內知識的交匯與綜合的絕佳體現嗎？既然提到知識的交匯，那么不得不說與線性規劃聯系緊密的同宗同源的其它解析幾何知識，比如兩點間的距離，因此可得到如下改編29:

如果題目中的距離隱含化，那么改編29可進一步演變為改編30:

對比改編30與前文改編23，不難發現二者的區別主要體現在兩個方面:改編23的約束條件在變化，而且其中含有參數，改編30的約束條件很明確，其中不含參數；改編23屬于逆向條件探索創新型題目，即已知目標函數的最值，探求參數的取值，而改編30是在具體約束條件下探求具體目標函數的取值范圍.

事實上，無論是平面向量還是兩點間的距離，與線性規劃的關系并不算遙遠，因為它們都有“形”的一面，那么與線性規劃的關系遙遠的知識內容能否與線性規劃交匯呢？顯然是可以的，比如把線性規劃與概率交匯起來得到改編31:

行文至此，筆者想到“從問題解答方面進行創新”“妙解型”中曾提到過借用“行列式”“矩陣”等概念來編制創新型題目的方法，并給出了具體的命題范例，那么，是否可以移植到此處呢？

最后，為了增強題目的可讀性、趣味性，讓題目更生活化、更接地氣，我們能否可以考慮采用現實生活背景來承載線性規劃問題呢？這顯然是可行的.幾經醞釀，筆者考慮以當下轟轟烈烈的“大眾創業、萬眾創新”社會背景來編擬，于是有了改編33，不僅以此結束本案例的編擬，同時也與教材原型遙相呼應.

改編33的創新之處不僅體現在線性規劃在現實生活中的應用這一外在表象上，而且還體現在不同于以往的慣例上——目標函數需要自己尋找.

四川省資陽市外國語實驗學校)