一道課本例題的研究及應用

陜西 呂二動 姬亞鵬

一道課本例題的研究及應用

陜西 呂二動 姬亞鵬

本文就此不等式的證明及其應用進行討論.

一、不等式的證明

【證法1】用比較法(教材證明方法)

又a，b，m∈R+且alt;b，所以b+mgt;0,b-agt;0，

【證法2】用分析法

即證明b(a+m)gt;a(b+m),

即證明bmgt;am,

即證明m(b-a)gt;0.

由于mgt;0,alt;b,所以上式成立.

【證法3】定比分點公式法

【證法4】斜率法

由不等式兩邊都是分式形式，可尋覓到這個式子隱含的幾何背景——直線的斜率：

【證法5】構造函數法

又因為bgt;a,所以f(x)在[0，+∞)上是增函數.

除此之外，還有其他的解法，不再贅述.

二、不等式的應用

【解析】由“糖水變甜不等式”得

【例2】建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比應不小于10%.并且這個比例越大，采光條件越好，問同時增加相同的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了還是變壞了？

故住宅的采光條件是變好了.

【例3】一只口袋里裝有4個紅球和6個白球.

(Ⅰ)從口袋里任意摸出一個球，恰是紅球的概率是多少？

(Ⅱ)再向口袋里放入2個紅球，則從口袋里任意摸出一個球，恰好是紅球的概率是變大還是變小？說明理由.

故該事件的概率變大了.

【證明】由于不等式右邊是常數，為了便于求和，最好能把分母化為一致，

【證明】因為1lt;i≤mlt;n,所以n-i+1gt;m-i+1gt;0.

由“糖水變甜不等式”，有

三、小試牛刀

【證明】在△ABC中，a+b-cgt;0.

【證明】由“糖水變甜不等式”得

【證明】由題設及“糖水變甜不等式”得

陜西省西安高新第三中學)