抓本質 重模型
——對古典概型的幾種常見模型的歸納

江蘇 王延全

抓本質 重模型
——對古典概型的幾種常見模型的歸納

江蘇 王延全

1.基本事件個數少的問題可以采用枚舉法

【典例】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.

(Ⅰ)若從甲、乙兩校報名的6名教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師性別相同的概率；

(Ⅱ)若從甲、乙兩校報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率.

【解析】(Ⅰ)從甲、乙兩校報名的6名教師中各任選1名，所有可能的結果為：(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，共計9個基本事件；

(Ⅱ)從甲、乙兩校報名的6名教師中任選2名，所有可能的結果為：(甲男1，甲男2)，(甲男1，甲女)，(甲男1，乙男)，(甲男1，乙女1)，(甲男1，乙女2)，(甲男2，甲女)，(甲男2，乙男)，(甲男2，乙女1)，(甲男2，乙女2)，(甲女，乙男)，(甲女，乙女1)，(甲女，乙女2)，(乙男，乙女1)，(乙男，乙女2)，(乙女1，乙女2)，共計15個基本事件；

記“選出的2名教師來自同一學校”為事件B，事件B含有以下6個基本事件：

【變式】小敏打開計算機時，忘記了開機密碼的前兩位，只記得第一位是M,I,N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是

( )

2.同一事件涉及多個因素可用樹狀圖

【典例】經過某十字路口的汽車，它可能繼續直行，也可能左轉或右轉，如果這三種可能性大小相同，同向而行的三輛汽車都經過這個十字路口時，求下列事件的概率：

(Ⅰ)三輛車全部繼續直行；

(Ⅱ)兩輛車右轉，一輛車左轉.

【解析】畫出三輛汽車先后經過一個十字路口轉向的樹狀圖，可以發現所有可能出現的結果共有27個，它們出現的可能性相等，即共有27個基本事件.

【評注】當一次試驗涉及三個或三個以上的因素時，通常借助樹狀圖不重不漏地計算基本事件的總數.樹狀圖一般從上至下或從左至右進行“枝葉”展開，注意“不重不漏”的進行列舉.

【變式】“石頭、剪刀、布”是個廣為流傳的游戲，游戲時甲乙雙方每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中的一種，規定：“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢不分勝負須繼續比賽.假定甲乙兩人每次都是等可能地做這三種手勢，那么一次比賽時兩人分出勝負的概率是多少？甲勝的概率是多少？請用樹狀圖的方法解決.

3.每個事件涉及兩個因素可用列表法

【典例】隨機地擲一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，計算：

(Ⅰ)點數出現兩個4點的概率；

(Ⅱ)點數之和是7點的概率.

【解析】隨機地擲一枚骰子兩次(或拋擲兩枚骰子一次)，所有結果如下表所示：

第一次第二次1點2點3點4點5點6點1點(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2點(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3點(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4點(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5點(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6點(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)

由上表可知，隨機地拋擲兩枚骰子的基本事件總數是36種.

【評注】當一次試驗涉及兩個因素，且可能出現的結果較多時，為不重復不遺漏地列出所有可能的結果，通常用列表法.本題運用表格將36種情形一 一列舉，具體形象，一目了然.

【變式】某中學一年級有12個班,要從中選2個班代表學校參加某項活動,由于某種原因,一班必須參加,另外再從二至十二班中選1個班,有人提議用如下方法:擲兩個骰子得到的點數和是幾(見下表),就選幾班,你認為這種方法公平嗎?

1點2點3點4點5點6點1點2345672點3456783點4567894點56789105點678910116點789101112

4.不放回問題可用半表計算基本事件

【典例】一個盒子里裝有標號1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的標簽，今隨機地選取兩張標簽.如果標簽選取是無放回的，求兩張標簽上的數字為相鄰整數的概率.

【解析】隨機地從盒子里選取兩張標簽，如果不放回，則有如下45個基本事件(例如：摸到1,2號標簽用{1,2}表示)：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{1,8},{1,9},{1,10}

{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{2,7},{2,8},{2,9},{2,10}

{3,4},{3,5},{3,6},{3,7},{3,8},{3,9},{3,10}

{4,5},{4,6},{4,7},{4,8},{4,9},{4,10}

{5,6},{5,7},{5,8},{5,9},{5,10}

{6,7},{6,8},{6,9},{6,10}

{7,8},{7,9},{7,10}

{8,9},{8,10}

{9,10}

【評注】當從有限個總體中不放回地抽取兩個樣本時，可以不考慮抽取的順序，通過列出半表來計算基本事件，這樣就簡化了計算.

【變式】一個口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩個球.

(Ⅰ)共有多少個基本事件？

(Ⅱ)摸出的兩個都是白球的概率是多少？

【解析】(Ⅰ)分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1，2號球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).因此，共有10個基本事件.

江蘇省連云港市贛馬高級中學)