含參數的線性規劃處理方法

福建 黃清波

含參數的線性規劃處理方法

福建 黃清波

線性規劃問題是高考的一個命題熱點，其題型靈活多樣，試題內容活潑、新穎.其中探究約束條件或線性目標函數中參數的取值(或范圍)，既是一個難點，又是一個常考點.高考對這類問題的考查可謂常考常新.學生解決這類問題之所以感覺困難，主要是因為這類問題含有參數從而使得要解決的問題處于動態變化之中，學生要么不知如何動筆，要么針對參數進行分類討論時對變化因素考慮不周全而出錯.對此，筆者通過對這一類題進一步分類及剖析，以期突破這一難點.

【類型一】目標函數中含有參數

【分析】先畫出可行域，得到交點坐標，再對k進行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點，即可求解.

解：約束條件所表示的區域為如圖所示的陰影部分，其中點A(4,4)，B(0,2)，C(2,0).

綜上所述，k=2.

( )

A.0 B.-2

C.1 D.-1

【分析】先畫出可行域，利用z=ax+y取得最大值的最優解有兩個，結合圖形，確定a的取值即可得到結論.

解：約束條件所表示的區域為如圖所示的陰影部分，因為z=ax+y取得最大值的最優解有兩個，所以-a=1.所以當x=1,y=0或x=0,y=-1時，z=ax+y=-x+y有最小值-1，所以ax+y+1的最小值是0，故選A.

( )

A.5 B.4

【小結】目標函數中的參數往往與直線的斜率有關，這類問題還有另一個特征，就是其最優解是可知的(一個、兩個或無窮多個)，因此解題時可充分利用斜率的特征加以轉化.并且要特別注意目標函數中參數的位置，如目標函數是z=kx+y還是z=x+ky，這決定目標函數對應直線平移的方向是向上還是向下.

【類型二】約束條件中含有參數

( )

A.2 B.1

C.-1 D.-2

【分析】逆向思維，從結論入手，將目標函數z=2x+y的最大值為7，最小值為1當成已知條件，對應于直線2x+y=7和2x+y=1，結合已知條件對應的直線x=1和x+y=4，通過作圖與求解即可確定使得目標函數z=2x+y取得最大值與最小值的點M和N，然后將這兩點的坐標代入直線ax+by+c=0，即可確定a,b,c之間的關系，進而使得問題得以順利求解.

【點評】本題的求解方式是把結論看成已知，從已知求未知，打破了從正面入手根據圖形找到使得目標函數取得最值的點來確定函數最值的常規求解思路，逆向思考問題，收到化繁為簡、化難為易的解題效果.適時利用逆向思維解題，可以拓寬解題思路，加深對知識的理解和掌握，提高靈活運用知識的能力.

【分析】先畫出可行域，利用目標函數的幾何意義，即可得到結論.

( )

A.10 B.12

C.14 D.15

【分析】先畫出可行域，利用目標函數z=3x+y的最小值為5，建立條件關系即可求出c的值，然后求最大值即可.

解：當z=3x+y取最小值為5時，有3x+y=5，

【小結】約束條件中的參數影響平面區域的形狀，這時含有參數的不等式表示的區域的分界線是一條變動的直線，此時就要根據參數的取值確定這條直線的變化趨勢，確定區域的可能形狀，因此，增加了解題時畫圖分析的難度.求解這類問題時要有全局觀念，結合目標函數逆向分析題意，整體把握解題的方向.

【類型三】目標函數、約束條件中都含有參數

( )

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

【分析】由約束條件作出可行域，然后對a進行分類，利用數形結合分類討論建立方程關系即可求出a的值.

解：當a=0時，顯然不滿足題意.

綜上，a的值為3，故選B.

( )

C.(1,3)

D.(3,+∞)

福建省南安市國光第二中學)