數(shù)列中的存在性問題探究

湖北 向正銀

數(shù)列中的存在性問題探究

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數(shù)列的存在性問題是高考的一個熱點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列問題的一個難點，但在具體的考查中，還是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為載體，利用數(shù)的范圍，結(jié)合整除性質(zhì)，恰當(dāng)運用整數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的存在性，經(jīng)常運用正難則反的思想，證明數(shù)列的存在性.

一、利用數(shù)的“范圍”判斷數(shù)列的存在性問題

(Ⅰ)求a1；

(Ⅱ)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并寫出其通項公式；

②-①得(n-1)an+1=nan. ③

于是nan+2=(n+1)an+1. ④

③+④得nan+2+nan=2nan+1，即an+2+an=2an+1.

又a1=0，a2=1，a2-a1=1，

所以數(shù)列{an}是以0為首項，1為公差的等差數(shù)列.

所以an=n-1.

(Ⅰ)求a1，d和Tn；

(Ⅱ)是否存在正整數(shù)m,n(1lt;mlt;n)，使得T1,Tm,Tn成等比數(shù)列？若存在，求出所有m,n的值；若不存在，請說明理由.

解得a1=1 ，d=2，an=2n-1.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時，數(shù)列{Tn}中T1,Tm,Tn成等比數(shù)列.

二、利用整數(shù)的奇偶性尋找矛盾判斷數(shù)列的存在性

(Ⅰ)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；

(Ⅱ)證明：數(shù)列{bn}中的任意三項不可能成等差數(shù)列.

即2s-r+13t-s=3t-r+2t-r，

由于rlt;slt;t，所以上式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，故上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾.因此數(shù)列{bn}中任意三項不可能成等差數(shù)列.

點評：若證明滿足條件的數(shù)列不存在，如果等式兩邊都是整數(shù)，有時可以通過等式兩邊的奇偶性不同來證明滿足條件的數(shù)列不存在，這種題目的關(guān)鍵是等式變形，要變到能證明等式兩邊都是整數(shù)，而且整數(shù)的奇偶性不同，從而得出結(jié)論.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Ⅱ)當(dāng)λ=4時，是否存在互不相同的正整數(shù)r,s,t，使得ar,as,at成等比數(shù)列？若存在，給出r,s,t滿足的條件；若不存在，說明理由.

解：(Ⅰ)a1=3，

因為a1=3滿足上式，所以an=(2n+1)λn-1(n∈N*)

(Ⅱ)當(dāng)λ=4時，an=(2n+1)4n-1.

若存在ar,as,at成等比數(shù)列，則(2r+1)(2t+1)4r+t-2s=(2s+1)2，

由奇偶性知r+t-2s=0，所以(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2，即r=t，這與r≠t矛盾.

故不存在互不相同的正整數(shù)r,s,t，使得ar,as,at成等比數(shù)列.

三、運用整數(shù)的整除性質(zhì)判斷滿足數(shù)列的存在性

(Ⅰ)在數(shù)列{an}中是否存在三項，使其成等差數(shù)列？說明理由；

假設(shè)存在ak,am,an,k,m,n∈N*成等差數(shù)列，不妨設(shè)klt;mlt;n，則2am=ak+an，即2a1qm-1=a1qk-1+a1qn-1,即2qm-k=1+qn-k,而2qm-k≤2qlt;1，1+qn-kgt;1，故矛盾.

因此在數(shù)列{an}中不存在三項成等差數(shù)列.

ak-(ak+1+ak+2)lt;aklt;ak-1lt;…lt;a2lt;a1,

ak-(ak+1+ak+2)gt;ak+2gt;…,

因此ak-(ak+1+ak+2)=ak+1，

Tn=S1+S2+…+Sn

=(n+1)Sn-n.

由此可得T2011=2 012S2011-2 011.

點評：如果從正面不好直接判斷，可以從反面考慮，用反證法證明，利用整數(shù)的整除性質(zhì)，結(jié)合等式兩邊數(shù)的范圍不同，從而否定假設(shè)，肯定結(jié)論.這類題目的關(guān)鍵還是等式變形，要變到等式兩邊的整除性不同，數(shù)的范圍不同，從而否定假設(shè)，得出結(jié)論.

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式an及其前n項和Sn；

所以d=2.

則2s-r-t=0且rt+r+t-s2-2s=0,

湖北省興山縣第一中學(xué))