賦值法求系數(shù)和

福建 蔡愛兵

賦值法求系數(shù)和

福建 蔡愛兵

二項(xiàng)式定理為高考的必考考點(diǎn)，常見題型為選擇題、填空題，以計(jì)算某一項(xiàng)的系數(shù)或者某幾項(xiàng)系數(shù)之和為主，主要是考查二項(xiàng)式定理和賦值法，一般是基礎(chǔ)題或者中檔題，在備考復(fù)習(xí)時(shí)，要側(cè)重基礎(chǔ).本文結(jié)合最近幾年高考試題中考查二項(xiàng)式定理的部分，主要探討賦值法求系數(shù)和.

一、針對特定一項(xiàng)的1賦值法

( )

A.-1 B.0

C.1 D. 2

【評注】考查對二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反.

【例2】(2012·浙江理·第14題)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5，其中a0,a1,a2，…,a5為實(shí)數(shù)，則a3=________.

【解析】法一：應(yīng)用二項(xiàng)展開式，等式兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.

法二：對等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5兩邊連續(xù)對x求導(dǎo)三次得60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2，再運(yùn)用賦值法，令x=-1得60=6a3，即a3=10.

【評注】求某項(xiàng)系數(shù)，先求導(dǎo)數(shù)，把要求的項(xiàng)系數(shù)變?yōu)槌?shù)項(xiàng)，在賦值，只留下常數(shù)項(xiàng)，事半功倍.

二、針對奇偶項(xiàng)的-1，1賦值法

【例3】(2015·全國新課標(biāo)Ⅱ理·第15題)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a=________.

【解析】法一：應(yīng)用二項(xiàng)展開式，(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4，故(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為4ax,4ax3,x,6x3,x5，其系數(shù)之和為4a+4a+1+6+1=32，解得a=3.

【評注】本題考查二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確寫出二項(xiàng)展開式，能正確求出奇數(shù)次冪項(xiàng)以及相應(yīng)的系數(shù)和，從而列方程求參數(shù)值，屬于中檔題.

( )

A.-1 B.0

【評注】本題主要是考查二項(xiàng)式定理奇偶項(xiàng)系數(shù)，直接計(jì)算比較繁瑣，先變形再賦值，則相對簡單.

三、針對所有項(xiàng)的1賦值法

( )

A.-40 B.-20

C.20 D.40

【評注】本題關(guān)鍵在于各項(xiàng)系數(shù)之和的賦值計(jì)算，求出a，再應(yīng)用二項(xiàng)式展開式，計(jì)算常數(shù)項(xiàng).

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