對兩道大學自主招生數學試題的求解與推廣

摘 要：類比和化歸是重要的數學思想。通過類比可以產生新的猜想，通過化歸，可以把新問題轉化為老問題，進而獲得求解。借助類比和化歸思想，求解2014年中國礦業大學自主招生的一道數學試題，并推廣到一般情況。

關鍵詞：類比；化歸；推廣

【例1】 （2014年中國礦業大學自主招生的一道考題）199顆棋子，兩人每次可以拿1～2顆棋子，先把棋子拿完的人贏，你應該先拿還是后拿？不妨設二人為甲和乙，甲想贏，如何取棋子？

當我們一籌莫展時，不妨從最簡單的情況開始研究。第一種情況：棋子數是1～2顆，則甲先拿，全部拿完，甲獲勝。第二種情況：棋子數是3顆，讓乙先拿。乙拿一顆棋子，甲就拿兩顆棋子，若乙拿兩顆棋子，甲就拿一顆棋子，甲獲勝。第三種情況：棋子數是4顆，甲先拿一顆棋子，將問題轉化為第二種情況。第四種情況：棋子數是5顆，甲先拿兩顆棋子，將問題轉化為第二種情況。第五種情況：棋子數是6顆，乙先拿。若乙拿一顆棋子，則甲拿兩顆棋子；若乙拿兩顆棋子，則甲拿一顆棋子，將問題轉化為第一種情況。第六種情況：棋子數是7顆，甲先拿一顆棋子，講將問題轉化為第五種情況。第七種情況：棋子數是8顆，甲先拿兩顆棋子，將問題轉化為第五種情況。第八種情況：棋子數是9顆，讓乙先拿，乙拿一顆棋子，甲就拿兩顆棋子，若乙拿兩顆棋子，甲就拿一顆棋子，如此循環，將問題轉化為第二種情況，甲獲勝。講八種情況填在表中，如下表棋子數表格。

觀察上表，可以發現，如果球的個數是3的倍數，讓乙先取。乙取一顆，甲就取兩顆，乙取兩顆，甲就取一顆，如此循環。若棋子數不是3的倍數，則用棋子數除以3，余數是多少，甲就先取幾顆棋子，然后將問題轉化為棋子數是3的倍數的情況。此時，將棋子數199推廣到任意的正整數，解決的方法是一致的。

推廣1199顆棋子，兩人每次可以拿1～3顆棋子，先把棋子拿完的人贏，你應該先拿還是后拿？

參考文獻：

[1]祁文斌.只成功“一點”[J].初中生學習（高），2010年04期.

[2]夏則勇，姚有勝.函數y=f（x+a）（a≠0）的奇偶性探討[J].中學生數理化（高一版），2010年06期.

作者簡介：

張港，江蘇省徐州市，江蘇安全技術職業學院。endprint