APOS理論下幾何概型的教學(xué)設(shè)計

徐蘭

摘要：幾何概型是高中數(shù)學(xué)比較抽象的一個概念，反映的是數(shù)學(xué)關(guān)系與空間形式本質(zhì)屬性的思維形式，依據(jù)APOS理論的概念教學(xué)建構(gòu)的四個階段：Action（操作階段）、Process（過程階段）、Object（對象階段）、Schema（圖式階段）來設(shè)計本節(jié)課，讓學(xué)生能夠通過自我操作、自主認(rèn)知來建構(gòu)幾何概型這個數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：APOS理論；概念教學(xué)；幾何概型；建構(gòu)

中圖分類號：G633.63文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）21-017-2

APOS理論將概念的建構(gòu)分為四個階段，操作——過程——對象——圖式四個階段。（1）操作（活動）階段：強(qiáng)調(diào)學(xué)生親身體驗(yàn)、感受概念的直觀背景和概念之間的關(guān)系，通過操作活動理解概念的意義。（2）過程階段：對操作再思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的本質(zhì)。（3）對象階段：認(rèn)識概念的本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到準(zhǔn)確化，成為一個具體的對象。（4）圖示階段：反映概念的定義及符號，建立與其他概念、規(guī)則、圖形的聯(lián)系，形成綜合的心理圖式。APOS理論不僅真實(shí)地反映了數(shù)學(xué)概念的思維過程，更強(qiáng)調(diào)了概念建構(gòu)的最終結(jié)果：在腦海中建構(gòu)綜合的心理圖式。幾何概型的概念反映的是數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的思維形式，所以這個概念非常地抽象，學(xué)生理解起來也比較困難。

下面筆者用APOS理論指導(dǎo)下設(shè)計這節(jié)概念教學(xué)課，談?wù)剬@個概念的引入與學(xué)習(xí)。

一、操作（A）階段——創(chuàng)設(shè)問題情境，感知幾何概型

情境引入實(shí)驗(yàn)1：運(yùn)動員射箭的靶面是半徑為10cm，黃色圓半徑為1cm，現(xiàn)一人隨機(jī)射箭，假設(shè)每箭都能中靶，且射中靶面任意一點(diǎn)都是等可能的，問射中黃色圓的概率是多少？

設(shè)計意圖；這個問題情境在初中學(xué)生就接觸過，學(xué)生用面積之比來計算相應(yīng)的概率。從學(xué)生熟悉的場景入手讓學(xué)生感知到這個問題與已學(xué)的古典概率是不一樣，是一種新的概型。

二、過程（P）階段——深入探究，內(nèi)化概念

實(shí)驗(yàn)2：500ml水樣中有一只草履蟲，從中隨機(jī)取出2ml水樣放在顯微鏡下觀察，問發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率？

實(shí)驗(yàn)3：某人在7：00～8：00任一時刻隨機(jī)到達(dá)單位，問此人在7：00～7：10到達(dá)單位的概率？

提問（1）：一次試驗(yàn)是什么？有多少種可能性？是不是古典概型？

提問（2）：每一個基本事件該怎么描述？每個基本事件的發(fā)生是否等可能？所有的基本事件可以怎么描述？

提問（3）：事件A是什么？事件A的發(fā)生又該怎么描述？

通過師生活動對這三個問題的解答最后提煉出：一次試驗(yàn)是箭射中靶面，有無數(shù)種可能性，每個基本事件可以看成在靶面上取一點(diǎn)，且每個基本事件發(fā)生是等可能的，基本事件的總和就是整個靶面，事件A是箭落在的黃色圓面，所以事件A的概率等于黃色圓面的面積/整個圓面的面積；

實(shí)驗(yàn)二中一次試驗(yàn)是草履蟲在水樣中的位置，每個基本事件相當(dāng)于在500ml水中取一點(diǎn)，有無數(shù)種可能性，且每個基本事件發(fā)生是等可能的，事件A是草履蟲在隨機(jī)取出2ml水樣中，相當(dāng)于在2ml的水樣中取一點(diǎn)。所以事件A發(fā)生的概率等于水樣的體積2ml/水樣的總體積500ml。

實(shí)驗(yàn)三中一次試驗(yàn)是某人在7點(diǎn)到8點(diǎn)的某一個時刻到達(dá)單位，每個基本事件可以看成是長度為60的線段AB上取一點(diǎn)，有無數(shù)種可能性，且每個基本事件發(fā)生是等可能的，事件A是此人在7點(diǎn)到7點(diǎn)10分到達(dá)單位，相當(dāng)于在長度為10的線段AC上取一點(diǎn)。所以事件A發(fā)生的概率為線段AC的長度/線段AB的長度。

設(shè)計意圖：通過反思比較，歸納出這三個實(shí)驗(yàn)中的共同特征，實(shí)驗(yàn)中每一個基本事件都可以看成在某個區(qū)域D內(nèi)取一點(diǎn)，且有無數(shù)種可能性，區(qū)域內(nèi)每一個點(diǎn)被取到的可能性都相同，而事件A可以看成是區(qū)域D中的某個指定小區(qū)域d內(nèi)取一點(diǎn)，這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形也可以是立體圖形。經(jīng)歷數(shù)次的“操作”和“過程”階段后，學(xué)生在大腦中的活動不斷進(jìn)行描述和反思，通過同化和順應(yīng)納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，慢慢地抽象概括出概念所特有的性質(zhì)，從而在頭腦中生成一種新的概型的認(rèn)識和初步把握。

三、對象（O）階段——建構(gòu)對象實(shí)體，形成新的概念

提問（4）：同學(xué)們，類比于古典概率，剛才這些實(shí)驗(yàn)都有什么共同的特點(diǎn)？這樣的概率問題我們就叫幾何概型。有沒有同學(xué)能夠嘗試講一下什么是幾何概型？

提問（5）：幾何概型是如何計算的？

通過師生活動得出：一次試驗(yàn)中的每一個基本事件可以看成是區(qū)域D（線段、平面圖形、空間圖形等）內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都一樣；隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)某個指定區(qū)域d中的點(diǎn)。滿足這樣條件的概率模型叫幾何概型。事件A發(fā)生的概率與d的測度（長度、面積、體積等）成正比，與d的位置和形狀沒有關(guān)系。事件A的概率計算公式為P（A）=d的測度D的測度。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生的自我建構(gòu)，將幾何概型作為一個新的對象來認(rèn)識，對其進(jìn)行形式化、工具化的表述，這就是對象階段應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)。對象階段的達(dá)成取決于操作階段和過程階段的充分鋪墊，對操作階段和過程階段的教學(xué)應(yīng)該是用新奇的操作，點(diǎn)燃思維的火花，再用遞進(jìn)的問題導(dǎo)引思維的縱深。所以在概念教學(xué)時精心設(shè)計情境的引入和問題串要能留給學(xué)生足夠的思維空間和探索機(jī)會。

四、圖式（S）階段——辨析概型，深入淺出

練習(xí)1：（1）x的取值是區(qū)間[1，4]中的整數(shù)，任取一個x的值，求“取得值大于2”的概率。

（2）x的取值是區(qū)間[1，4]中的實(shí)數(shù)，任取一個x的值，求“取得值大于2”的概率。

練習(xí)2：有根繩子長為3米，拉直后任意剪成兩段，每段不小于1米的概率是多少？

設(shè)計意圖：練習(xí)1把古典概型和幾何概型放在一起讓學(xué)生辨析兩個概念，再次深化對概念的理解，練習(xí)2是一個樣本空間沒有現(xiàn)成給出的，需要學(xué)生建立起幾何模型，根據(jù)題意引人適當(dāng)?shù)淖兞浚侔杨}設(shè)中的條件用引入的變量來表達(dá)出來，這對學(xué)生對概念的掌握又提高了要求，所以這是一個思維螺旋上升的過程。

作為教師，我們要深入理解建構(gòu)主義的知識觀、學(xué)習(xí)觀。學(xué)習(xí)不是教師向?qū)W生的單向傳遞，而是學(xué)生建構(gòu)自己知識的過程，應(yīng)重視學(xué)生的理解，傾聽他們的看法。新的概念的建構(gòu)需要一定的過程。對于高中生來說，他們關(guān)于某個圖式的形成需要一定的時間，特別是過程和對象兩個階段，需要多次的反復(fù)，才能建出自我的圖式，形成穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)。APOS作為一種概念教學(xué)的嘗試，還需要我們進(jìn)一步地學(xué)習(xí)探索，才能更好地運(yùn)用。endprint