基于混沌分形理論的金屬疲勞損傷過程的特征分析

張玉華, 李欣欣, 黃振峰, 毛漢領

(1.廣西大學 輕工與食品工程學院,南寧 530004； 2.廣西大學 機械工程學院,南寧 530004)

基于混沌分形理論的金屬疲勞損傷過程的特征分析

張玉華1, 李欣欣2, 黃振峰2, 毛漢領2

(1.廣西大學 輕工與食品工程學院,南寧 530004； 2.廣西大學 機械工程學院,南寧 530004)

為了有效地分析金屬疲勞損傷過程中裂紋擴展與演化的特征，提出利用混沌分形理論對蘊含疲勞裂紋擴展規律的超聲非線性輸出信號進行分析，用Lyapunov指數、K熵、關聯維數等特征量對金屬疲勞損傷過程的特性進行表征和評價。采用RITEC公司的RAM-5000系統獲得具有不同疲勞損傷程度試件的超聲非線性輸出信號，計算疲勞過程中的Lyapunov指數、K熵、關聯維數。分析結果表明金屬疲勞損傷過程中超聲非線性輸出信號具有混沌特性；Lyapunov指數、關聯維數、K熵等特征值隨疲勞循環次數單調遞增，當宏觀裂紋出現后趨于飽和，說明疲勞損傷過程中試件內部的復雜程度和混沌特征逐漸增強；由疲勞過程中微裂紋的演化規律可知，混沌分形特征值可以有效地表征試件在疲勞過程中裂紋的變化規律和群體性行為。因此混沌分形理論可以有效地分析金屬疲勞損傷過程中裂紋擴展與演化的特征，根據混沌分形特征值—疲勞循環次數的關系，為試件的疲勞壽命預測提供了一種新的分析方法。

非線性超聲；疲勞損傷；Lyapunov指數；關聯維數；K熵

金屬試件在服役過程中，疲勞斷裂是主要的失效形式。在外界載荷作用下，試件內部微觀結構表現為位錯群的產生、駐留滑移帶和微裂紋的形成和擴展，宏觀裂紋的產生，直至試件斷裂失效[1]。(在早期力學性能退化階段，由于位錯和滑移帶等微觀缺陷，單一頻率的超聲波在金屬內傳播時波形發生畸變，產生高次諧波，利用二次諧波幅值對材料的早期疲勞損傷進行檢測和評價。大量學者開展了許多相關研究，Shah等[2]通過實驗探究線性和非線性參數對材料疲勞的敏感程度，隨著疲勞次數的增加，相對非線性系數明顯增加，但衰減系數、聲速等線性參數變化不大。吳斌、稅國雙等[3-4]探究了聲學非線性參數和材料疲勞性能的關系。Matlack等[5]利用瑞利波探究汽車零件17-4PH不銹鋼的熱輻射損傷，隨著試件老化時間的增加，試件的聲學非線性參數逐漸減小，該結果與試件的微觀結構演化規律相一致。陳振華等[6]利用高次諧波檢測薄板點焊焊核的微小缺陷，表明非線性超聲檢測具有很高的檢測能力。但是這些研究通過對疲勞過程中的超聲非線性輸出信號進行頻譜分析，由二次諧波和基波幅值探究試件的非線性特性。由頻譜分析的原理可知，該方法適合處理平穩的線性信號[7]。而在疲勞損傷過程中，微裂紋個數、尺寸、擴展路徑等一直在發生變化[8]，其微觀結構高度不均勻且十分復雜，超聲非線性輸出信號是反映金屬疲勞損傷、并經過復雜傳播的非平穩時間序列，如何有效地提取超聲非線性輸出信號，合理的表征疲勞損傷過程中裂紋的群體行為和演化規律是非線性超聲檢測技術的關鍵問題。

混沌和分形理論的發展為深入分析非線性時間序列的內在機理提供理論基礎，廣泛應用于機械設備故障診斷和特征提取的研究中。孫自強[9]利用混沌分形理論對風力機械傳動系統的振動數據進行分析，對相關的故障診斷和狀態預測進行研究，并把分維數可以作為風電運行狀態以及不同故障識別的一種有效手段；Takuma等[10]計算剪切加工過程中聲發射信號的關聯維數和最大Lyapunov 指數，并對刀具的磨損狀態和剩余壽命進行評估。然而這些研究都是對系統的振動信號或與振動有關的信號進行特性分析，振動信號包含了較多的環境噪聲，且數據量比較大，對系統的特征分析和提取帶來了一定的困難。而超聲非線性輸出信號是反映系統特性的另一種時間序列，受環境影響較小；超聲波在試件中傳播與缺陷發生非線性相互作用，輸出信號能夠更直觀地反映系統的內在特性，因此，在對試件疲勞損傷特征進行分析時，超聲非線輸出信號可以有效地替代振動信號。Wang等[11-12]探究了復雜應力狀態下高溫低周疲勞表面短裂紋行為，并用計盒維數對裂紋的群體行為進行表征。由于不同的混沌特征值可以從不同的角度反映非線性系統的特征，為了充分、全面地分析金屬疲勞損傷過程中裂紋擴展與演化特征，對超聲非線性輸出信號的多組特征值進行分析，深入探究金屬疲勞過程的特性。

本文利用RITEC公司的RAM-5000系統獲得具有不同疲勞損傷程度試件的超聲非線性輸出信號，在相空間重構的基礎上，利用小數量法、最大似然法和GP算法估算超聲非線性輸出信號的Lyapunov指數、K熵、關聯維數，探究金屬疲勞損傷過程中混沌分形特征值的演化規律，通過對混沌分形特征值的分析深入地理解金屬材料疲勞過程的裂紋擴展和演化規律，通過建立混沌分形特征值-疲勞損傷的關系，為金屬構件疲勞壽命的預測提供了一種新的分析方法。

1 混沌分形特征值估算方法

混沌吸引子是混沌系統最顯著的特征，它表示系統最終會做規律的運動，產生規則、有形的軌跡。這種軌跡在經過類似拉伸、折疊后轉化成與時間相關的序列，表現出混亂、復雜的特性。相空間重構技術利用合適的嵌入維數m和延遲時間τ，重構m維的相空間Y(ti)，恢復吸引子的特性。通過對吸引子特征量——Lyapunov指數、K熵、關聯維數等的分析，深入了解非線性系統的內在特征[10]。

1.1Lyapunov指數

混沌運動最基本的特征是對初值條件極為敏感，兩個初始臨近點產生的軌道，隨著時間的推移按指數方式分離，Lyapunov指數就是研究這一特征的量。根據超聲非線性輸出信號的特性，計算Lyapunov指數采用小數據量法，它是利用軌道上每對初始臨近點的平均發散速率估計的。若時間序列{x1,x2,…,xN}，當潛入維數為m，時間延遲為τ時，重構相空間為

Yi=(xi,xi+τ,…xi+(m-1)τ)òRm，i=1,2,…,M

(1)

在相空間中，尋找給定軌道上點Yj的最近鄰點Yj′，并限制短暫分離，即

j-j′>p

(2)

P為時間序列的平均周期。每對初始臨近點，經過i個離散步后的距離dj(i)，

dj(i)=Yj+i-Yj′+i,i=1,2,…min(M-j,M-j′)

(3)

對于每個離散時間步i，求出所有j的lndj(i)的平均值y(i)，

(4)

式中:q為非零dj(i)的個數，并用最小二乘法對i-y(i)作回歸直線，該直線的斜率即為最大Lyapunov指數。

1.2K熵

Kolmogorov熵(K熵)是吸引子的一個重要特征值，它對系統的混亂程度進行整體的度量[13]。在混沌系統中，由于非線性系統的初值敏感性使軌道的指數發散，因此K熵為一正值，其值越大，信息的損失速率越大，系統越復雜。本文采用最大似然法估算時間序列的K熵。

1.3關聯維數

分形維數是描述吸引子的另一個重要參數，可以對系統的非線性行為進行定量描述，關聯維數就是其中的一種，它表示吸引子相空間結構的復雜程度，因此，它可以很好地反映時間序列中蘊含的系統信息。

重構m維相空間中有N個點，如果兩點yj和yj間的歐式距離dij小于給定值臨界值r，稱有關聯的分量，有關聯的矢量對數所占的比例稱為關聯積分Cn(r)：

(5)

其中，θ(x)為Heaviside單位函數，其定義為：

(6)

由于關聯積分與給定臨界值存在如下關系：

(7)

則D就是關聯維數，其計算式如下

(8)

用最小二乘法擬合雙對數曲線，該線的最佳擬合直線段區為無標度區，無標度區的斜率就是關聯維數。

2 試驗系統與方法

2.1非線性超聲測試系統

圖1是非線性超聲測試系統原理圖，利用RAM-5000主機產生15個周期的正弦脈沖信號，經衰減器和兩級低通濾波器后，驅動中心頻率為5 MHz的激勵換能器，超聲波在試件中傳播與缺陷發生非線性作用，并由中心頻率為10 MHz的換能器接收，直接傳輸至RAM-5000主機的receiver2通道。帶通濾波器和前置放大器專門處理接收信號中微弱的二次諧波信號，并將處理后的信號傳輸至receiver1通道。采用黃油作耦合劑，同時也要保證激勵和接收換能器在同一軸線上，避免能量損失。利用示波器采集接收換能器的輸出時域信號(超聲非線性輸出信號)，并對信號進行256次平均，提高信號的信噪比。

圖1 非線性超聲測試系統原理圖

2.2試件制備

試件規格如圖2所示，材料選用45#鋼，其長、寬、厚度分別為130 mm、30 mm、15 mm，用線切割技術在試件中部加工5 mm的機械缺口，線切割鉬絲直徑為0.18 mm，試件表面進行拋光處理。試件共6根，分別編號1,2,3,4,5和6。在三點彎曲疲勞試驗中，兩支點的跨度為120 mm，支點1距試件左邊緣的距離為5 mm，支點和加載位置如圖2所示。

三點彎曲疲勞試驗在長春新科PX20高頻疲勞試驗機上完成，其參數設置如表1所示。

首先對試件5和6進行疲勞試驗，測得疲勞循環壽命分別為1.78×105和1.85×105次，并根據經驗確定該批試件的疲勞循環壽命為1.80×105次。對試件1、2、3、4進行中斷疲勞試驗，當加載至相應的疲勞次數時(疲勞循環壽命的百分比為10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%)，暫停試驗機，對試件進行超聲激勵試驗，獲得超聲非線性輸出信號，然后再對試件繼續進行疲勞試驗，直至試件失效。每次超聲試驗均重復進行6次，以減小隨機誤差。

圖2 試件/mm

設備參數設定值加載類型正弦交變應力加載頻率自適應最大加載力/kN-1．3最小加載力/kN-13

3 試驗結果與分析

3.1非線性超聲測試系統性能分析

在非線性超聲測試系統中，試驗儀器、耦合劑、換能器等都會產生高次諧波，對測量結果造成影響。

當激勵信號頻率和超聲波傳播距離一定時，基波幅值的平方和二次諧波幅值成正比，據此可以判定試驗系統的可靠性[14]。在其他條件相同的情況下，對試件3和4進行超聲激勵試驗，激勵電壓分別為50 V、60 V、70 V、80 V、90 V、100 V，分析基波幅值平方與二次諧波幅值的關系，實驗結果如圖3所示。

圖3 基波幅值和二次諧波幅值平方的關系

3.2超聲非線性輸出信號的混沌分形特征值計算

圖4是示波器采集的超聲非線性輸出信號，該信號包含了兩端的暫態過程和中間的穩態過程，為了抑制暫態過程對試驗結果的影響，截取信號中間2 048個采樣點作為混沌分形分析的時間序列。

計算吸引子的特征值時，首先對時間序列進行相空間重構，將其拓展到高維空間，恢復吸引子的動力特性，本文采用C-C法對超聲非線性輸出信號進行相空間重構。以試件4疲勞循環次數為30%的6組超聲非線性輸出信號為例，在最佳延遲時間和嵌入維數的基礎上，利用小數量法、最大似然法、GP算法分別計算吸引子的Lyapunov指數、K熵和關聯維數，將六組特征值的平均值作為該疲勞循環次數下的混沌分形特征值。圖5是Lyapunov指數和關聯維數的計算結果。

圖4 超聲非線性輸出信號

(a) Lyapunov指數

(b) 關聯維數

表2是試件4在不同疲勞損傷程度下的混沌分形特征值。采用上述方法依次計算試件1,2,3的混沌分形特征值。

從表2可以看出，在不同的疲勞損傷程度下，Lyapunov指數均大于0，說明疲勞損傷過程中超聲非線性輸出信號具有混沌特性。隨著疲勞循環次數的增加，Lyapunov指數、K熵和關聯維數均不斷增加，說明試件內部的混沌特性不斷增強。

表2 試件4的混沌分形特征值

3.3混沌分形特征值的演化規律

為進一步探究金屬疲勞損傷過程中混沌分形特征值的演化規律，對各特征值進行歸一化處理。將未經過疲勞加載試件的特征值記為λ0，經過疲勞加載試件的特征值記為λ′，利用λ′/λ0進行歸一化處理，可得到試件歸一化Lyapunov指數、歸一化關聯維數和歸一化K熵與疲勞循環壽命之間的關系，如圖6所示。

隨著疲勞循環次數的增加，混沌分形特征值逐漸變大，說明試件內部的復雜性和混亂程度不斷增加。通過對比分析可知，四個試件的Lyapunov指數、關聯維數和K熵隨疲勞循環次數的變化趨勢大致相同，在疲勞循環的早期階段，混沌分形特征值單調遞增，在疲勞循環壽命為70%之后，各混沌分形特征值趨于穩定。在三組變化曲線中Lyapunov指數和關聯維數的增加趨勢較為明顯，且在疲勞循環壽命為10%時，關聯維數的增幅約為17%，說明關聯維數對試件疲勞損傷的初期階段較為敏感。

圖6 歸一化特征值與疲勞循環壽命的關系

3.4疲勞損傷過程中微裂紋的演化規律

由于試件具有5 mm深的機械缺口，所以缺口處局部應力較大。在循環載荷作用下，缺口的尖端形成應力集中區域，會有大量的微裂紋萌生并伴隨有擴展的現象，試件內部結構會隨著微裂紋的出現變復雜，因此試件的非線性特性增強，混沌分形特征值增大。由于關聯維數是系統混亂程度的度量，所以在大量的微裂紋萌生時，關聯維數有一個較大的增幅。隨著循環載荷的進行，微裂紋繼續萌生和擴展，并有一定數量的微裂紋合并，少量的裂紋擴展較快，發展為主導裂紋，混沌分形特征值繼續增加。此階段中試件的損傷狀態已經較為明顯，多條主導裂紋持續擴展，且合體現象加速，形成致使試件失效的主裂紋。而在主裂紋的擴展過程中，試件內部不再有新的裂紋形成。

試件在疲勞循環壽命為70%左右時已出現明顯的宏觀裂紋，該宏觀裂紋由主裂紋發展而來，當疲勞循環壽命在70%之后，宏觀裂紋尺寸進一步變大，裂紋的數量和擴展路徑的復雜度并未發生大的變化，所以混沌分形特征值在在疲勞循環壽命為70%時達到最大，而在疲勞循環的末期趨于穩定狀態。因此，混沌分形特征值的變化可以有效地表征試件在疲勞損傷過程中裂紋的變化規律，揭示金屬疲勞損傷過程的非線性特性。

金屬試件在外界載荷作用下，混沌分形特征值逐漸增加，代表了裂紋形態的復雜程度及試件內部應力復雜程度的增加，即表面無序性的增長。由于Lyapunov指數可以表征系統的混沌程度，關聯維數和K熵是系統混亂程度和復雜度的度量，而材料內部結構的復雜度反映了加載條件、所處環境和微觀結構等多種因素，因此混沌分形特征值的演化規律可以表征材料的疲勞損傷過程，并可對試件的疲勞壽命進行預測。

4 結 論

(1)在不同的疲勞損傷程度下，超聲非線性輸出信號的Lyapunov指數均大于0，說明蘊含疲勞裂紋擴展規律的超聲非線性輸出信號具有混沌特性。

(2)混沌分形特征值隨疲勞循環次數單調遞增，當宏觀裂紋出現之后，三個特征值趨于飽和，說明在疲勞損傷過程中，材料內部的混亂程度不斷增加。且關聯維數對疲勞損傷的初期階段較為敏感。

(3)通過分析微裂紋的演化特征可知，混沌分形特征值隨疲勞循環次數的變化曲線可以有效地表征疲勞損傷過程中微裂紋的演化規律和群體性行為。因此混沌分形理論可以有效地提取金屬疲勞損傷過程的特征，通過對疲勞過程中混沌分形特征值的分析，利用特征值的演化規律可以對試件的疲勞壽命進行預測。

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Featureanalysisofmetalfatiguedamageprocessesbasedonthechaosandfractaltheory

ZHANGYuhua1,LIXinxin2,HUANGZhenfeng2,MAOHanling2

(1. Institute of Light Industrial and Food Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China； 2. College of Mechanical Engineering, Guangxi University, Nanning 530004, China)

To effectively extract the characteristics of crack extension and evolution in the process of fatigue damages, the chaos and fractal theory were introduced to analyze the output signals of the receiver in a nonlinear ultrasonic system. The ultrasonic nonlinear output signals were gathered by the RAM-5000 system and analysed by virtue of the chaos and fractal theory. Then the Lyapunov exponent, correlation dimension and K entropy were calculated to evaluate the nonlinear characteristics of fatigue damages. The study shows that the ultrasonic nonlinear output signals of metal fatigue damages are of chaotic characters. The Lyapunov exponent, correlation dimension and K entropy monotonously increase with the development of fatigue damages, and reach a stable state when the macro cracks appear. The chaotic characteristic values can effectively characterize the extension and evolution of cracks and fully reveal the nonlinearity of metal fatigue processes. The results provide a new analysis method for the fatigue life analysis based on the relationship between the chaotic characteristic values and fatigue life.

nonlinear ultrasonic; fatigue damage; Lyapunov exponent; correlation dimension; K entropy

TG115.28

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.012

國家自然科學基金(51365006;51445013)

2016-05-17 修改稿收到日期：2016-09-04

張玉華 女,博士生,1987年4月生

毛漢領 男,博士,教授,1963年11月生,E-mail:maoh179@gxu.edu.cn