內激勵作用下行星傳動系統振動響應研究

許華超, 秦大同, 周建星

(1. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044; 2. 新疆大學 機械工程學院, 烏魯木齊 830047)

內激勵作用下行星傳動系統振動響應研究

許華超1,2, 秦大同1, 周建星2

(1. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044; 2. 新疆大學 機械工程學院, 烏魯木齊 830047)

基于齒輪系統動力學推導出行星齒輪傳動系統的平移-扭轉耦合非線性振動微分方程。采用特征值問題求解其固有頻率及振型，并進行歸類和描述。針對行星齒輪傳動系統中內激勵頻率與轉速成正比這一特性，提出一種利用正弦激振掃頻模擬其內激勵，并通過求解傳動系統振動微分方程得到其響應的方法。與傳統方法相比，該方法可將系統中復雜的激勵分解為若干單一激勵，從而量化評價各激勵對系統振動響應的影響程度，使各激勵與響應形成具體映射關系。研究發現內嚙合激勵對低階(1～5階)與高階固有頻率(16～18階)影響較小，外嚙合激勵在低階固有頻率隨階數增加影響遞增，并對太陽輪純扭轉振型影響較大，而在中階固有頻率(6～15階)內外嚙合均對行星輪純扭轉振型影響顯著，為行星齒輪傳動系統固有頻率及振型的優化、降振減噪和減小故障發生率提供依據。

行星齒輪； 振動響應； 嚙合激勵； 固有特性

行星齒輪傳動系統以傳動比范圍大、結構緊湊、承載能力強等諸多優點，已廣泛應用于航空航天、能源、交通運輸等領域。然而由于行星齒輪傳動系統自身結構及內部激勵復雜，導致其早期失效頻發，已成為制約其向長壽命和高可靠性應用的重要因素之一。故研究行星齒輪傳動系統的激勵、建模及振動響應特征，對提高和改善行星齒輪傳動系統的動力學特性，實現減振降噪、減小故障發生率具有重要的理論價值和工程意義。

國內外專家學者對其進行了諸多有益研究。Kahraman等[1-2]建立了具有齒側間隙的直齒圓柱齒輪副非線性動力學模型，分別運用諧波平衡法來研究內外激勵對系統的振動情況；Han等[3]計入時變嚙合剛度與軸彎曲等因素，建立了具有多自由度的單級齒輪系統，并對其振動響應特性進行了較為詳細的研究；葉福民等[11]利用Kato公式法，分析了內激勵對齒輪副振動噪聲的影響；Parker等[5-6]采用集中質量法建立了行星齒輪傳動系統的平移-扭轉動力學模型，運用模態能量法研究其嚙合剛度、支撐剛度、輪體質量和轉動慣量對固有頻率和振型的影響，就行星輪平移和扭轉兩種模態進行了討論；與此同時，Parker等[7]運用有限元/接觸力學模型在一定轉速和負載范圍內對行星齒輪傳動系統中行星輪與太陽輪振動響應特性進行了分析；Ambarisha等[8]采用二維集中質量法和有限元法求解了行星傳動系統的動態響應；Wei等[9]建立了一對風電機組直齒輪副的力學模型，分析了各類參數對其扭轉振動響應的影響；魏靜等[10]運用模態疊加法對齒輪箱系統進行了振動響應分析，仿真分析結果與實驗數據較為吻合；葉福民等[11]建立了行星齒輪傳動系統的非線性動力學模型，討論了齒輪副模數與壓力角對均載荷系統的影響。由于行星傳動系統結構及激勵的復雜性，上述研究對行星傳動系統做了過多的簡化，不能準確地對行星傳動系統的振動響應進行預估，并且激勵與響應的映射關系還無人研究。

針對上述問題，本文提出利用正弦激振掃頻來模擬激勵的方法，綜合考慮了基于嚙合相位的時變嚙合剛度等因素的影響，運用齒輪系統動力學推導出激勵與響應具有映射關系的行星齒輪傳動系統耦合振動響應動力學微分方程，采用特征值問題求解其固有頻率及振型，并對其進行了歸類。同時分別研究了內外嚙合激勵對行星齒輪傳動系統各構件振動響應的影響，對于從設計階段來實現振動的抑制具有重要意義。

1 齒輪系統動力學模型

行星齒輪傳動系統的基本參數如表1所示，其中質量、轉動慣量等均由UG NX實體建模后得出；行星齒輪傳動系統簡圖如圖1(a)所示，圖中標示S代表太陽輪，C代表行星架，R代表內齒圈，Pi(i=1，2，3) 代表行星輪；圖1(b)為三維裝配模型。

表1 行星齒輪傳動系統參數

本文以2K-H行星齒輪傳動系統為研究對象，3個行星輪沿圓周均布且參數均相同。由于該系統軸間跨度較短，彎曲剛度較大，故運用集中質量法建立其平移—扭轉耦合動力學模型，如圖2所示。模型構建時取行星架中心為坐標原點，水平方向為X，豎直方向為Y。模型中不計齒側間隙和輪齒誤差的影響，輪齒嚙合采用具有時變剛度的彈簧模擬，行星輪均用軸承支撐，并考慮了時變軸承剛度。圖中ks、kc、kr和kpi分別表示太陽輪、行星架、內齒圈支撐剛度和第i(i=1，2，3)個行星輪軸承支承剛度；ksu、kcu和kru分別為太陽輪、行星架和內齒圈扭轉剛度；kspi和krpi分別代表太陽輪、內齒圈與第i個行星輪的外嚙合剛度和內嚙合剛度；us、ur、uc和upi分別表示太陽輪、內齒圈、行星架和第i個行星輪的扭轉微位移；ηpi、ξpi分別為第i個行星輪沿中心徑向和切向微位移；xn(n=s，c，r) 和yn(n=s，c，r)分別表示構件沿中心橫向和縱向微位移。

(a)行星齒輪傳動系統簡圖(b)行星齒輪傳動系統裝配模型

圖1 行星傳動系統結構簡圖與三維模型

Fig.1 Structure of planetary gear sets and three- dimensional model

圖2 行星傳動平移—扭轉耦合動力學模型

所建模型中相互嚙合輪齒沿嚙合作用線方向的彈性變形為：

(1)

式中：δspi、δrpi為太陽輪、內齒圈與第i個行星輪嚙合副彈性變形；δcpix、δcpiy和δcpiu為行星架與行星輪的相對位移沿xc、yc和uc方向的投影；ωc為行星架的角速度；其中，φspi(t)=φpi(t)-αspi，φrpi(t)=φpi(t)+αrpi；αspi、αrpi為太陽輪、內齒圈與第i個行星輪的嚙合壓力角；φpi(t)為第i個行星輪相對于行星輪1的圓周方向夾角。

通過分析各構件在理想位置的受力情況，根據牛頓力學理論，行星傳動系統動力學微分方程為

(2)式中:In(n=s，p，c，r)和mn(n=s，p，c，r)為齒輪的轉動慣量和質量；rbn(n=s，p，c，r)為齒輪的基圓半徑;Tin為系統輸入扭矩，作用于太陽輪；Tout為系統輸出扭矩，施加于行星架。將式(2)可寫為矩陣形式，該式中各列陣和矩陣的維數均為18，得：

(3)

式中：ku為扭轉剛度矩陣；km為時變嚙合剛度矩陣；kb為支撐剛度矩陣；T為外部載荷；系統各構件的位移向量q表示為：

(4)

2 固有特性分析

由式(3)可知，當系統外部載荷T=0時，無阻尼自由振動方程為：

(5)

將其轉化為變特征值問題時：

(6)

求解出行星齒輪傳動系統的固有頻率(如表2所示)和振型(如圖3所示)。該系統的固有頻率范圍在208 Hz～7 045 Hz，共18階；振型共劃分為3種振動模式，中心構件(行星輪、太陽輪、內齒圈)平移振動模式(中心構件平移振動為主)共有6對等固有頻率，它們分別為ω1=ω2、ω4=ω5、ω6=ω7、ω8=ω9、ω11=ω12和ω14=ω15，研究發現引起重頻的主要原因為模型中行星輪參數相同導致結構對稱；中心構件扭轉振動模式(中心構件扭轉振動為主) 對應3階固有頻率，分別為ω16、ω17、ω18；行星輪振動模式(行星輪振動狀態相同為主)對應3階固有頻率，分別為ω16、ω17、ω18。

3 嚙合激勵下振動響應方程的構建

3.1基于嚙合相位的時變嚙合剛度激勵

齒輪系統在嚙合過程中單雙齒嚙合交替變化，其嚙合剛度具有明顯的周期性,將其以嚙合頻率進行傅里葉級數展開為

(a) 中心構件平移模式

(b) 中心構件扭轉模式

(c) 行星輪模式

振動模式固有頻率振型中心構件平移振動模式ω1=ω2=208ω4=ω5=277ω6=ω7=368ω8=ω9=465ω11=ω12=802ω14=ω15=1317太陽輪、行星輪和行星架平移振動為主太陽輪或行星輪平移振動為主內齒圈平移振動為主中心構件扭轉振動模式ω16=5825ω17=6706ω18=7045行星架純扭轉太陽輪純扭轉內齒圈純扭轉行星輪振動模式ω3=246ω10=559ω13=1177行星輪平移為主行星輪純扭轉

(7)

式中：k0為平均嚙合剛度；n為轉速；z為齒數；ki,Φi為第i階分量的幅值和相位。

基于嚙合相位并采用數值方法求解時變嚙合剛為

(8)

式中：βspi為第i個行星輪相對于第一個行星輪的相位角(βsp1=0°)；Δβ為內外嚙合相位差，行星輪齒數為奇數時Δβ=1/2,為偶數時Δβ=0。

3.2振動響應方程的構建

由式(7)可知激勵頻率及其倍頻均與轉速成線性比例關系，故本文采用正弦激振掃頻的方法來模擬內激勵對系統振動響應的影響，假設行星齒輪傳動系統在增速過程中內激勵頻率從fmin增大至fmax所用時間為T，則激振力可表示為

f(t)=Fsin(fmin+at)t， 0

(9)

式中：F為激振力幅值；a為激勵頻率范圍相對于掃頻時間的系數，a=2π(fmax-fmin)/T；

通過式(9)即可模擬各激勵，并作用于系統模型(2)中激勵相應位置上，即可推導出行星齒輪傳動系統振動響應動力學方程：

Fnsin(fmin+at)t

(10)

式中，Fn(n=s，c，r，pi，ksp，kpr)為太陽輪、行星架、內齒圈、行星輪、外嚙合激勵和內嚙合激勵激振力幅值。

對式(10)進行拉式變換可得：

B(g)q(g)=Fnsin(fmin+at)t

(11)

式中，B(g)為系統阻抗矩陣，其逆矩陣即為系統的導納矩陣或傳遞函數D(g):

D(g)=[B(g)]-1=[mg2+cg+kb+

km+ku]-1

(12)

將式(12)中的g用jω替代，即可得到系統的頻響函數D(ω)為：

D(ω)=[B(ω)]-1=[-mω2+jcω+kb+

km+ku]-1

(13)

將式(13)代入式(11)即可得系統激勵、響應和頻響函數的關系為

q(ω)=D(ω)F(ω)

(14)

故在激勵F(ω)作用下系統各構件的振動位移qn(ω)為：

(15)

式中，j，n分別為系統激勵輸入點和振動位移輸出點。

4 嚙合激勵對系統振動響應的影響

嚙合激勵是行星傳動系統振動和噪聲產生的基本原因。齒輪系統作為一種彈性的機械系統，在嚙合過程中由于嚙合齒對數的變化、輪齒受載變形、齒輪誤差等引起嚙合激勵的產生，必然導致系統的振動，故研究嚙合激勵對行星傳動系統振動的影響，可為降振減噪、改善動態性能提供依據。

對行星傳動系統而言，激勵與振動響應復雜，但工程實踐證明，多個激勵共同引起的振動均可分解為若干單一激勵振動響應的疊加。故在僅考慮嚙合激勵對系統振動響應的影響時，可由式(10)分別將內外嚙合激勵沿嚙合線方向作用于系統振動微分方程中，若取嚙合剛度的平均值(激振力)為100 N，系統增速過程中內外嚙合激勵頻率從0 Hz增至7 200 Hz，最終可由式(15)求得內外嚙合激勵分別作用下系統各構件振動位移情況如圖4，5所示。

4.1內嚙合激勵對系統的影響

圖4(b)為內嚙合激勵對行星輪振動響應，由式(5)可知各行星輪嚙合相位和剛度均不同，故各行星輪振動情況不同；由于嚙合激勵沿嚙合線作用于相應構件上且可分解為橫向和扭轉激勵，故對系統中心構件平移振動模式影響較為顯著,例如系統第1、2、6、7、8、9、11、12、14、15階固有頻率的行星輪，其中第14、15階固有頻率(1 317 Hz)的行星輪1扭轉振幅達1.39×10-5m；同時對系統高階行星輪振動模式的影響也較大，如系統第10、13階固有頻率的行星輪振動，其中第13階固有頻率(1 173 Hz)的行星輪扭轉振幅達1.39×10-5m，遠大于其它振動響應，振型為行星輪純扭轉，由于該階行星輪扭轉振動劇烈，振幅遠大于其他構件，此時由圖4(a)可知該階行星輪劇烈振動同時引起太陽輪強烈的扭轉振動，振幅達2.18×10-6m，遠大于其它中心構件振幅。

內嚙合激勵對系統振動響應的影響，總體呈現以下趨勢，對系統低階固有頻率(1～5階)的振動響應影響較小；對系統中間段固有頻率(6～15階)，其振型為中心構件平移振動模式下的中心構件橫向振動、行星輪振動模式下的行星輪扭轉和太陽輪扭轉振動影響較大；未影響系統高階固有頻率(16～18階)，其振型均屬于中心構件扭轉振動模式。

(a) 中心構件振動響應

(b) 行星輪振動響應

4.2外嚙合激勵對系統的影響

由圖5(a),(b)外嚙合激勵對系統振動響應的影響可知，與內嚙合力相似，外嚙合力也沿嚙合作用線方向作用于太陽輪和行星輪上，可同時引起太陽輪和行星輪較為強烈的振動，故外嚙合激勵同樣對系統中心構件平移振動模式和高階行星輪振動模式影響較大，而對非固有頻率處影響較小；由圖5(a)中心構件振動響應可得，對系統第1、2、4、5、6、7、11、12階固有頻率的太陽輪橫向振動(表2可知振型以太陽輪平移為主)，第4、5、6、7階固有頻率的行星輪橫向振動(由表2可知振型以行星輪平移為主)，第11、12階固有頻率的內齒圈橫向振動(由表2可知振型以內齒圈平移為主)影響顯著，振型均屬于中心構件平移振動模式，其中第4、5階固有頻率的太陽輪橫向振幅達2.49×10-6m，遠大于其它振動響應。外嚙合與內嚙合激勵不同之處在于其對部分高階中心構件扭轉振動模式影響也較為顯著，其第17階固有頻率(6 706 Hz)的太陽輪扭轉振幅達1.33×10-6m，振型為太陽輪純扭轉。

由圖5(b)所示外嚙合激勵對行星輪振動響應可知，與內嚙合激勵對行星輪振動響應的影響相似，各行星輪間振動響應情況也均不同；由于行星輪通過軸承與中心構件行星架聯接且與太陽輪和內齒圈相嚙合，扭轉剛度僅由嚙合剛度分解而來，故行星輪與中心構件的振動具有一定的相似性，均對系統中心構件平移振動模式所對應的固有頻率影響較大，例如第1、2、4、5、6、7、11、12、14、15階固有頻率)，其中第4、5階固有頻率的行星輪3扭轉振幅達4.71×10-6m，遠大于其它振動響應；與此同時，外嚙合激勵對系統部分高階行星輪振動模式的影響也較大，其第13階固有頻率(1 173 Hz)的行星輪扭轉振幅達1.31×10-6m，同時也引起與之相嚙合的太陽輪產生較為明顯的扭轉振動(如圖5(a)所示)。

(a) 中心構件振動響應

(b) 行星輪振動響應

外嚙合激勵對系統振動響應的影響，總體呈現以下趨勢，對系統中心構件平移振動模式下所對應的低階固有頻率(1～5階)響應振幅隨階數遞增而增加；對系統中間段固有頻率(6～15階)其振型為行星輪純扭轉時，外嚙合激勵會使行星輪與太陽輪產生較為明顯的扭轉振動；對振型為太陽輪純扭轉的高階固有頻率(17階)，外嚙合激勵會引起太陽輪顯著的扭轉振動。在振動控制中可依據系統各階振動響應的強弱來判斷各階主要振動構件、固有頻率及振型，并可以此為依據，通過調節相關構件的設計參數來實現系統各階固有頻率及振型的主動設計，從而有效降低系統振動。

5 結 論

(1) 提出基于牛頓力學理論和正弦激振掃頻來求解行星齒輪傳動系統振動響應的方法，可得到各激勵與響應的具體映射關系；

(2) 低階固有頻率(1～5階)內嚙合激勵影響小，外嚙合激勵隨階數增加而影響遞增，中間段固有頻率(6～15階)內外嚙合激勵均對行星輪純扭轉振型影響較大，在高階固有頻率(16～18階)，內嚙合未影響而外嚙合激勵對太陽輪純扭轉振型影響顯著。

(3) 結合內激勵對系統的振動響應，在振動控制中可依據振動主要成分的固有頻率階次及振型，通過系統固有頻率及振型的主動設計，從而有效抑制系統振動。

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Vibrationresponsesofplanetarygearsetsundertheinternalmeshingexcitation

XUHuachao1,2，QINDatong1，ZHOUJianxing2

(1.State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China; 2. College of Mechanical Mechanical Engineering, Xinjiang University, Urumqi 830047, China)

A translation-rotation coupled nonlinear vibration differential equation for planetary gear sets was built based on the gear system dynamics. The natural frequencies and vibration shapes of the system were calculated and the distribution of natural frequencies and the characteristics of vibration shapes were presented. Taking into account the direct proportional relationship between the internal meshing excitation and rotating speed of the system, the sweep sine excitation was made in use to simulate the internal meshing, excitation and the corresponding vibration response was obtained by solving the dynamic differential equation. It is found there is a specific mapping relation between the excitation and response. It is also found that the internal meshing excitation has a smaller influence on the low(1～5)and high(16～18)natural frequencies, but the influence of external meshing increases along with the increase of the order of natural frequency and there is a larger influence on the sun gear rotational modes of high natural frequencies. Both the internal and external meshings have significant influence on the planetary gear rotational modes of intermediate natural frequencies(6～15). The study gives a foundation for the vibration reduction in the design of planetary gears sets.

planetary gear； vibration response； meshing excitation; natural characteristics

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.21.038

國家重點基礎研究發展計劃資助項目(973計劃，2014CB046304)

2016-07-21 修改稿收到日期：2016-09-04

許華超 男，博士生，1990年7月生

秦大同 男，博士，教授，博士生導師，1956年11月生

E-mail:dtqin@cqu.edu.com