培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)變式能力的方法

【摘 要】數(shù)學(xué)教師教育學(xué)生的目的是培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力、學(xué)習(xí)新事物的能力，提出更一般的、更廣闊的、更深刻的新問題和建立新理論的能力。那么如何培養(yǎng)學(xué)生針對(duì)舊問題提出新問題（問題演變）的能力？也就是說，如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)變式的能力呢？

【關(guān)鍵詞】變式訓(xùn)練；創(chuàng)新思維；能力

一、重視基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念（定義、定理、性質(zhì)、公式、法則）是解決數(shù)學(xué)問題，并產(chǎn)生新問題的起點(diǎn)。一般情況下，要從知識(shí)發(fā)生的過程設(shè)計(jì)問題，突出概念的形成過程；從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)來設(shè)計(jì)問題，不是將公式簡(jiǎn)單地告訴學(xué)生；通過設(shè)計(jì)開放性的問題，讓學(xué)生通過類比、歸納、猜想得出結(jié)論，再對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行論證。

例1：求證：順次連結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式1：求證：順次連結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式2：求證：順次連結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

變式3：求證：順次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

變式4：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)可以得到平行四邊形？

變式5：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)可以得到平行矩形？

變式6：順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)可以得到菱形？

通過這樣一系列變式訓(xùn)練，使學(xué)生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化溝通了常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等，極大地拓展了學(xué)生的解題思路，活躍了思維，激發(fā)了興趣。

二、創(chuàng)新思維，發(fā)展能力

豐富而扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)是形成創(chuàng)新意識(shí)的前提，有“知”未必有“能”，無“知”必定無“能”，要想知識(shí)和能力同步協(xié)調(diào)發(fā)展，教師在教學(xué)中既要使學(xué)生掌握知識(shí)，更要使學(xué)生把握知識(shí)產(chǎn)生的“過程”價(jià)值。具體地說，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，它是一種不依常規(guī)，尋求變異，從多角度、多層次、全方位地去思考問題、尋求答案的優(yōu)良思維品質(zhì)，其基本特征是：流暢性（能在短時(shí)間內(nèi)表達(dá)較多的概念，反應(yīng)迅速）、變通性（思維方向靈活多樣，舉一反三，觸類旁通，能提出超常的構(gòu)想或新觀點(diǎn)）、獨(dú)創(chuàng)性質(zhì)（對(duì)事物的處理或判斷表現(xiàn)出獨(dú)特的見解，推陳出新）。

例1：如圖1，在Rt△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，則c2=a2+b2（勾股定理）。

變式探究

變式1：當(dāng)∠c不是90°時(shí)，則，c2=a2+b2仍成立嗎？

解：如圖2，設(shè)△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b。

過點(diǎn)B作AC的垂線BD，垂足為D。

則BD=asinC，DC=acosC，AD=b-acosC，

根據(jù)勾股定理可得：

C2=（asinC）2+（b-acosC）2

=a2sin2C+b2-2abcosC+a2cos2C

=a2（sin2C+cos2C）+b2-2abcosC

=a2+b2-2abcosC

這即是解斜三角形所需用的余弦定理。從而，我們可以發(fā)現(xiàn)，勾股定理亦可視為余弦定理的特殊情況，即c2=a2+b2-2abcos90°。

變式2：已知所有符合a2+b2=c2的正整數(shù)解即為一組勾股數(shù)，如：3、4、5，5、12、13，9、40、41……那么是否存在正整數(shù)a、b、c，使a3+b3=c3呢？

變式3：當(dāng)冪n≥3時(shí)，是否存在正整數(shù)a、b、c，使an+bn=cn也成立呢？這就是有名的數(shù)學(xué)難題——費(fèi)馬最后定理。

由上例可知，教材中一些常見定理，反映著相關(guān)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思維方法和思想精髓，這就是學(xué)生創(chuàng)新思維的生長(zhǎng)點(diǎn)。

三、熟悉規(guī)律，掌握技能

數(shù)學(xué)問題的演變是從基礎(chǔ)問題出發(fā)進(jìn)行變化，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，但仍有一定的方法、技巧可循。如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的思維水平，運(yùn)用已掌握的知識(shí)，通過正確的思維方式，把碰到的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的或容易解決的數(shù)學(xué)問題，變中求解、解中求變呢？請(qǐng)參見以下的流程圖：

例2：已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)P（-2，1），Q（1，m）。

（1）求這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值？

變式1（變結(jié)論）：根據(jù)圖像回答，當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值？

變式2（延伸結(jié)論）：判斷∠POQ的取值范圍，求△POQ的面積。

變式3（變條件點(diǎn)的位置）：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)P（-2，1），Q（-1，m）。

（1）求這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式；

（2）在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像回答：當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值？

（3）判斷∠POQ的取值范圍，求△POQ的面積。

四、巧妙設(shè)計(jì)，注意要點(diǎn)

前面，我們舉例說明了數(shù)學(xué)問題變式的方法，但應(yīng)當(dāng)指出，問題變式不是為了“變式”而變式，而是要根據(jù)教學(xué)或?qū)W習(xí)需要，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式，其目的是通過變式訓(xùn)練，使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上，把學(xué)到的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力，形成技能技巧，完成“應(yīng)用—理解—形成技能—培養(yǎng)能力”的認(rèn)知過程。因此，數(shù)學(xué)變式設(shè)計(jì)要巧，要有一定的藝術(shù)性，要正確把握變式的度。一般地，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式，應(yīng)注意以下幾個(gè)問題：

（1）差異性。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題變式，要強(qiáng)調(diào)一個(gè)“變”字，避免簡(jiǎn)單的重復(fù)。變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學(xué)生對(duì)每道題既感熟悉，又覺新鮮。從心理學(xué)角度分析，新穎的題目對(duì)學(xué)生刺激強(qiáng)，學(xué)生做題的興奮度高，容易集中注意力，積極性高，思維敏捷，能收到較好的訓(xùn)練效果。因此，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)變式，要努力做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。

（2）層次性。所謂的問題變式要有一定的難度，才能調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考。但是，變式要由易到難，層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。要讓學(xué)生經(jīng)過思考，能夠跨過一個(gè)個(gè)“門檻”，這樣既達(dá)到訓(xùn)練的目的，又可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的智力。

（3）靈活性。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際情況，數(shù)學(xué)問題變式訓(xùn)練的方式要靈活多樣，力求使學(xué)生獨(dú)立練習(xí)和教師啟發(fā)引導(dǎo)下的半獨(dú)立練習(xí)相結(jié)合。同時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容，有時(shí)可分散訓(xùn)練，有時(shí)可集中訓(xùn)練，有時(shí)一個(gè)題目的變式可分幾次完成，充分展現(xiàn)知識(shí)螺旋式上升的方式。這種靈活的訓(xùn)練方式，不僅可以提高學(xué)生的興趣，吸引學(xué)生的注意力，而且可以使學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，提高大腦和神經(jīng)的興奮度，達(dá)到最佳的訓(xùn)練效果。

總之，變式訓(xùn)練不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，關(guān)于特定數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題變式有助于促使學(xué)生產(chǎn)生體驗(yàn)新的知識(shí)的深切體會(huì)，有助于促成學(xué)生形成看待原有問題的全新視角，所有這些，應(yīng)其外在表象而言，接觸了更多的變異，就其內(nèi)在本質(zhì)而言，產(chǎn)生了深刻的理解。

作者簡(jiǎn)介：

楊小芳（1972.1～ ），女，浙江舟山人，本科，中學(xué)高級(jí)，初中數(shù)學(xué)。endprint