高中數學軌跡方程求法例談

張旻

【摘 要】解析幾何軌跡方程的求解是高中數學中的重點內容，不管是在平時的教學中還是考試中，這部分都是必學、必考的。本文在教學實踐的基礎上分析了四中軌跡方程的求法直接法、定義法、代數法、參數法等。希望筆者的觀點能給大家的教學帶來一些思考和啟示。

【關鍵詞】高中數學；軌跡方程；解法例談

探討分析解析幾何中軌跡方程的求法不僅是提高學生學習能力的需要，也是提高數學課堂教學效益的需要。在平時的教學中，教師應堅持“授人以魚不如授人以漁”的教學思想，只有教給學生恰當的學習方法，才能提高學生的學習能力。

一、直接法求軌跡方程

直接法：題目中的條件有明顯的等量關系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關系，列出含動點M（x，y）的解析式。

例1：在直角坐標系xoy中，已知動點P與平面上兩定點M（-1，0），N（1，0）連結的斜率的積為定值-4，設點P的軌跡為C.

（1）求出曲線C的方程；

（2）設直線y=kx+1與C交于A，B兩點，若⊥，求k的值。

解：（1）設P（x，y），x≠±1，由題意知=-4，化簡得x2+=1，所以曲線C的方程為x2+=1（x≠±1）.

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標滿足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，

故x1+x2=-，x1x2=-.

若⊥，即x1x2+y1y2=0.

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=---+1=0，化簡得-4k2+1=0，所以k=±.

二、定義法求軌跡方程

定義法：分析題設幾何條件，根據圓錐曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程。

例2：如圖，E，F是x軸上的定點，G、H、P是坐標平面上的動點，點P在線段FG上，點H在線段EG上，并且||=，||=4，，2，=0.

（1）求P點的軌跡方程；

（2）若直線l：y=x+m與P點的軌跡有兩個不同的交點A，B，且·>2，求實數m的取值范圍。

解：（1）根據題意，|PE|=|PG|，則|PE|+|PF|=4，因此點P的軌跡是以E，F為焦點，長軸長為4的橢圓，其方程為+y2=1。

（2）將y=x+m代入+y2=1，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，由Δ>0得m2<5. ①

設A（x1，y1），B（x2，y2），則·=x1x2+y1y2=.

由>2得m2>. ②

由①②得m的取值范圍是-5，.

三、代入法求軌跡方程

代入法：如果軌跡動點M（x，y）依賴于另一動點P（a，b），而P（a，b）又在某已知曲線上，則可先列出關于x，y，a，b的方程組，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程。

例3：已知點P是圓x2+y2=1上一動點，點P在y軸上的射影為Q，設滿足條件的點M的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程；

（2）設過點N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點為A，O為坐標原點，直線OA的斜率為k2，求k21+k22的最小值。

解：（1）設點P的坐標為（x0，y0），點M的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（0，y0）.

由，得x=2x0，y=y0，即x0=，y0=y.

因為點P在圓x2+y2=1上，則+y2=1，故點M的軌跡，即曲線C的方程為+y2=1.

（2）由題設直線l的方程為y=k1（x-1），

得（4k21+1）x2-8k21x+4k21-4=0.

其中Δ=64k41-4（4k21+1）（4k21-4）

=16（3k21+1）>0.

設直線l與曲線C的兩交點坐標為（x1， y1），（x2， y2），

則x1+x2=，

y1+y2=k1（x1+x2-2）=，

所以k2=.

所以k21+k22=k21+≥，當且僅當k1=±時取等號。

故k21+k22的最小值為.

四、參數法求軌跡方程

參數法：如果軌跡動點M（x，y）的坐標之間的關系不易找到，也沒有相關點可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數來表示，消去參數得軌跡方程.參數法中常選角、斜率等為參數。

例4：設橢圓方程為x2+=1，過點M（0， 1）的直線l交橢圓于點A，B，O是坐標原點，點P滿足=（+），當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.

解：直線l過點M（0， 1），設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.

記A（x1， y1），B（x2， y2），由題設可得點A，B的坐標（x1， y1），（x2， y2）是方程組的解。

將①代入②并化簡得，（4+k2）x2+2kx-3=0，

當k不存在時，A，B中點為坐標原點（0， 0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為4x2+y2-y=0.

總之，無論用哪種方法求軌跡方程，都應注意軌跡方程的完備性和純粹性。求出的軌跡方程中若有的解不符合軌跡條件，從而使軌跡圖形上有不符合軌跡條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的集合，即曲線之外還有適合條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足完備性。在解題時，只有都兼顧才能求得正確答案。endprint