例談?wù)憬呖枷蛄繂?wèn)題中的數(shù)形結(jié)合思想

張建民

(浙江省杭州市杭州師范大學(xué)附屬中學(xué),浙江 杭州 310000)

例談?wù)憬呖枷蛄繂?wèn)題中的數(shù)形結(jié)合思想

張建民

(浙江省杭州市杭州師范大學(xué)附屬中學(xué),浙江 杭州 310000)

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想方法，使用這種方法來(lái)解決問(wèn)題往往能起到事半功倍的效果.通過(guò)對(duì)浙江高考向量問(wèn)題的研究，試圖探索利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決向量問(wèn)題的幾種方法，以及數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的重要意義.

數(shù)學(xué)思想；數(shù)形結(jié)合；向量問(wèn)題

數(shù)形結(jié)合思想方法是每年高考中的重要考點(diǎn)之一，因此對(duì)高考數(shù)學(xué)試題中出現(xiàn)的有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行剖析，有助于更好地了解高考對(duì)學(xué)生思想方法的評(píng)價(jià)要求，從而為數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提供一定的啟發(fā)與借鑒.眾所周知，浙江省高考試題中向量問(wèn)題都是比較經(jīng)典的題型，而且也具有一定的難度.而其中很多題目突出以思想方法立意，注重對(duì)學(xué)生的能力進(jìn)行綜合考查.現(xiàn)將試題蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想方法剖析如下.

類型一：轉(zhuǎn)化為四邊形(或三角形)中的問(wèn)題

例1 (06年浙江高考)設(shè)a、b、c滿足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，則|a|2+|b|2+|c|2的值為_(kāi)___.

類型二：轉(zhuǎn)化為圓中的問(wèn)題

例2 (08年浙江高考)已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( ).

圖2

解答至此我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這是一道立意清新、內(nèi)涵豐富的好題.它以向量為載體，求向量的模的最大值為題設(shè)，考查平面幾何中圓的性質(zhì)，進(jìn)而檢測(cè)考生思維的靈活性和深刻性.

類型三：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線(或面)的距離問(wèn)題

例3 (05年浙江高考)已知向量a≠e，|e|=1，對(duì)任意t∈R，恒有|a-te|≥|a-e|，則( ).

A.a⊥eB.a⊥(a-e)

C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e)

A.銳角三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.答案不確定

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

分析本題是一道較難的題目，雖然條件簡(jiǎn)單，但涉及到的向量較多，而向量之間的關(guān)系不是十分明顯，所以一時(shí)難以下手.如何找到不等號(hào)左右兩邊數(shù)量積之間的關(guān)系成為解決此問(wèn)題的關(guān)鍵.這就需要借助幾何圖形將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而找到兩者之間關(guān)系.

分析本題是填空題的最后一題，難度極高，因涉及變量較多，代數(shù)方法的計(jì)算量很大，運(yùn)算能力弱的學(xué)生很難算到最后結(jié)果，而運(yùn)算能力強(qiáng)的學(xué)生即使能算到最后結(jié)果，但需要花費(fèi)很多時(shí)間，得不償失.因此選擇簡(jiǎn)潔迅速的思想方法就顯得尤為重要.下面結(jié)合距離解題過(guò)程來(lái)看看數(shù)形結(jié)合思想在解題思路的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中所起的作用.

首先利用向量的加減法定義作出向量b-(xe1+ye2)的幾何圖形，作OA=e1，OB=e2，則OC=xe1+ye2，如圖7.

變式：(05年5月浙江數(shù)學(xué)競(jìng)賽)已知a，b是兩個(gè)相互垂直的單位向量，而|c|=13，c·a=3，c·b=4，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)t1,t2，|c-t1a-t2b|的最小值是( ).

A.5 B.7 C.12 D.13

由于向量本身具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，因此其問(wèn)題大多可轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，這就打通了代數(shù)與幾何之間的通道.所以我們?cè)诿鎸?duì)一個(gè)具體的向量問(wèn)題時(shí)，要透過(guò)問(wèn)題的表象，揭示出問(wèn)題的幾何本質(zhì)，其目的不單單是追求解題技巧，而是更加關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還可以讓學(xué)生的思維更加廣闊，解題更加富有靈活性.

數(shù)形結(jié)合作為基本的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用十分廣泛.不僅在向量中可以體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合之美，在解決其他數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，其實(shí)也一直在使用.這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中能夠更好地明確新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求，并最終促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的優(yōu)化.

[1]徐德均.文化形式思想方法常用工具[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011(9):24-27.

[2]王強(qiáng)芳.向量語(yǔ)言表其外圓的性質(zhì)蘊(yùn)其中[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2011(9):14-15.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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2017-07-01

張建民(1982.01-)，男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.