例析超越方程參數范圍的普適解法

呂 滌 張毅凡

(浙江省紹興市嵊州中學，浙江 紹興 312400)

例析超越方程參數范圍的普適解法

呂 滌 張毅凡

(浙江省紹興市嵊州中學，浙江 紹興 312400)

通過分析“虛設零點”法在求超越方程參數范圍中的應用與效果，并與傳統方法進行比較，給出了解決導數零點難求問題的新思路，為求超越方程參數范圍提供了新方法.

函數；導數；超越方程；參數；虛設零點

作為初等數學與高等數學的紐帶，函數與導數始終是高考的熱點，近年來多次作為壓軸題出現，且往往含有參數，并需要求解其范圍.但對于許多函數，求導后導函數形式往往呈現超越式，導致導數零點求不出、判不定，從而使解題過程陷入困境.筆者試圖結合例題分析來探討解決這類問題的方法.

一、例題分析

例1 已知g(x)=x2+mx，h(x)=ex-1 ，若在(0,+∞)上至少存在一點x0，使得g(x0)gt;f(x0)成立，求m的取值范圍.

解析方法一：問題等價于[g(x)-h(x)]maxgt;0，令f(x)=g(x)-h(x)=x2+mx-ex+1，

點評這種做法有效規避了參數討論，大大簡化了解題過程，設零點而不求，以零點為媒介將參數與另一個函數聯系起來，通過限定零點范圍從而快速求出參數范圍.

例2 已知函數f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx，g(x)=ex-x-1，若對?x1∈(0,+∞),x2∈R，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求實數a的取值范圍.

點評這是一個導函數有兩個零點的超越方程，其中一個為常數，另一個與參數有關，此時就需要考慮兩個零點是否在定義域內.而事實上，對于本題的函數，其定義域是“開放型”的，即x∈(0,+∞)，因此必定只有一個零點在定義域內，否則有x→+∞時f(x)→+∞，與f(x)≤0矛盾.

例3 (2015全國數學高考文科第21題)設函數f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點個數；

點評這是另一種形式的整體代換，根據題目中不等號右邊式子的特點，將x0用a代換，極大地簡化了解題過程.

二、總結

一般地，對于求含參數的超越方程參數范圍的題目，可以用以下方法處理：

1.轉化問題，將題目改寫為f(x)≤p或f(x)≥q的形式；

2.求導，并令f′(x0)=0，得到“零點多項式”.

1)若只有一個零點，則這個零點必定與參數有關.

①用零點多項式表示參數；

②將f(x0)中的參數用零點多項式代換，解得滿足題設要求的x0范圍；

③用求得的x0范圍解得零點多項式的范圍，即為參數的范圍.

2)若有兩個零點，一個與參數有關，一個為常數.

①如果該函數的定義域是“開放型”的，如(m,+∞)、(-∞,n)、R，則必定只有一個零點在定義域內，否則有x→∞時，f(x)→∞，與題設條件(f(x)≤p或f(x)≥q)矛盾.

導數是研究函數的重要工具，得到導數零點是對函數性質研究的重要前提.而在導數零點無法直接得到或不能求得精確值時，運用本文所涉及的思想及方法，可以更好地發揮導數的功能，充分利用導數的價值，更巧妙地解決問題.

[1]閆偉. 高中數學“導數及其應用”教學研究[D].長春：東北師范大學,2015.

[2]冷孝勇. 對高中數學等價變形中化繁為簡方法的探討[J]. 西藏教育,2012(11):25-26.

[3]石向陽. 破解導數零點不可求的“組合拳”[J]. 中學數學研究, 2016，34(高中版11):9.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0054-02

2017-07-01

呂滌(1999.2-)， 女， 南京農業大學植物保護學院植物保護專業 ，在校生.

張毅凡(1998.8-)， 男， 浙江省嵊州中學，在校生.