差比型數列的求和探討

朱小扣

(安徽省無為縣牛埠高中，安徽 巢湖 238351)

差比型數列的求和探討

朱小扣

(安徽省無為縣牛埠高中，安徽 巢湖 238351)

本文給出了差比型數列前n項和的五種求解方法.

差比型數列；前n項和；求和方法

若{an}是等差數列，{bn}是等比數列，則數列{anbn}叫差比型數列.求差比型數列的前n項和一直是高考的考點，為此本文將從最一般的情形入手，得到差比型數列求和的五種通法.

例題求Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1(q≠0且q≠1).

解方法一(錯位相減法)：

Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1.

①

①×q-②得：

q1Sn=q+2q2+…+ (n-1)qn-1+nqn.

②

①-②得：(1-q)Sn=1+q+q2+…+qn-2+qn-1-nqn

方法二(迭代法)：

Sn=1+2q+3q2+…+(n-1)qn-2+nqn-1

=1+q(2+3q+…+nqn-2)

=1+q[1+2q+…+(n-1)qn-2]+q(1+q+q2+…+qn-2)

=1+q(1+2q+…+(n-1)qn-2+nqn-1-nqn+q(1+q+q2+…+qn-2)

方法三(導數微分法)：

先考慮S=1+2x+3x2+…+nxn-1

用此方法還可以求形如“S=12+22x+32x2+…+n2xn-1”(x≠0且x≠1)的值.

注意到：n2xn-1=(n2+n)xn-1-nxn-1

=n(n+1)xn-1-nxn-1=(xn+1)″-(xn)′，

∴S=12+22x+32x2+…+n2xn-1

=(x2)″-(x)′+(x3)″-(x2)′+…+(xn+1)″-(xn)′

=(x2+x3+…+xn+1)″-(x+x2+…+xn)′.

這樣就可以求出S了，同樣的方法還可以求出類似的和.

因為導數與積分是互逆運算，所以像求上面的和除了可以用導數來算還可以用積分來計算.

如求S=1+2x+3x2+…+nxn-1

方法四(差分方程法)：

Sn=1+2q+3q2+…+(n-1)qn-2+nqn-1

=1+q(2+3q+…+nqn-2)

=1+q(1+2q+…+(n-1)qn-2)

+q(1+q+q2+…+qn-2)

此差分方程的特征根為λ=q,特解為

(*)

方法五(通項公式法)Sn=1+2q+3q2+…+nqn-1,則Sn+1-Sn=(n+1)qn.

設Sn+1-[a(n+1)+b]=Sn-[an+b],

則Sn+1-Sn=[(aq-a)n+aq+bq-b]qn

∴{Sn-[(an+b)qn]}是常數列.

∴Sn-[(an+b)qn]=S1-(a+b)q

∴Sn=[(an+b)qn]+S1-(a+b)q,

總結對于其他的差比型數列的前n項和，如：

求q2+2q3+3q4+…+nqn+1及1+3q+5q2+…+(2n-1)qn-1的值，可以按如下方法：

就可以化為上面的類型，都可以用上面五種方法去解.五種求和方法互相交融，交相輝映,體現數學的多元性.數學上很多知識也是交織的，所以要學好數學,我們必須要會舉一反三，觸類旁通.

[1]朱小扣.探究高中數學命題的原則[J].中學數學研究(華南師范大學版),2017(11).

[2]朱小扣,朱嘉懿.例談不等式解題中的多元性和延拓性[J].數理化解題研究，2017(16).

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0053-02

2017-07-01

朱小扣(1986.2-)，男，中學一級教師，從事高中數學教學和高考試題研究.