遞推關系含Sn(或Sn+1)項的數列問題

鄧 超

(福建省福州市第十八中學象園校區,福建 福州 350005)

遞推關系含Sn(或Sn+1)項的數列問題

鄧 超

(福建省福州市第十八中學象園校區,福建 福州 350005)

本文對含有Sn(或Sn+1)項的數列問題的解法進行了探討，給出了解此類問題的兩種策略.

遞推數列；通項公式

一、策略一：消去Sn(或Sn+1).

如果解題過程要求證明{f(an)}是等差數列或等比數列，我們就應該想辦法消去Sn.辦法是由遞推關系式寫出兩個式子:Sn+1=g(an+1)和Sn=g(an)(g(x)為一個函數)，用前式減去后式得：Sn+1-Sn=g(an+1)-g(an)，而Sn+1-Sn=an+1，于是an+1=g(an+1)-g(an).

分析要求的是數列{an}的通項公式，故考慮消去遞推關系式中的Sn.

4an+1=(an+1-an)(an+1+an+2)，

∴4an+1=(an+1-an)(an+1+an)+2(an+1-an)，

∴(an+1-an)(an+1+an)-2(an+1+an)=0，∴(an+1-an-2)(an+1+an)=0.

∵angt;0，∴an+1+angt;0，

∴an+1-an-2=0即an+1-an=2，

∴數列{an}是等差數列.

兩邊同時平方后得8Sn-1=(an-2)2，

(1)

∴8Sn=(an+1-2)2.

(2)

(2)-(1)得：8an=(an+1-2)2-(an-2)2=(an+1-an)(an+1+an-4)

=(an+1-an)(an+1+an)-4(an+1-an)

∴(an+1-an)(an+1+an)-4(an+1+an)=0，∴(an+1+an)(an+1-an-4)=0

又∵數列{an}各項為正，∴an+1+angt;0，an+1-an-4=0，即an+1-an=4，∴數列{an}是等差數列.

二、策略二：消去an(或an+1).

如果解題過程要求證明{f(Sn)}是等差數列或等比數列，我們就應該想辦法消去an，消去的辦法是把an+1=Sn+1-Sn代入遞推關系式.

分析因為求的是Sn，所以考慮消去遞推式中的an.

三、策略的選擇

消去Sn(或Sn+1)還是消去an(或an+1)，通常可以結合題目的要求看出來.但是如同例4中的注所述，有些題目要求求出an的通項公式，表面上看應該先消去Sn，但是這會導致解題陷入死胡同，這時需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1求出an.請看下面的例子：

[1]劉增利. 教材解讀與拓展: 人教版. 數學. 必修5[M]. 北京：開明出版社, 2012.

[2]熊斌,陳雙雙. 解題高手—高中數學(第6版)[M]. 上海：華東師范大學出版社, 2013.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0047-02

2017-07-01

鄧超(1984.7-)，漢族，福建省福州人，學士學位,從事中學數學解題方面的研究.