函數最值問題的解法

蔣先培

(云南省曲靖市會澤縣第一中學，云南 曲靖 654200)

函數最值問題的解法

蔣先培

(云南省曲靖市會澤縣第一中學，云南 曲靖 654200)

函數最值問題綜合性強，解題方法相對靈活，對數學各方面知識點的掌握要求較高.教師在日常教學中應引導學生多角度分析、思考問題，提升解決實際問題的能力.本文主要探討三種方法解決函數最值問題.

高中數學；最值問題；配方法

高中數學中，函數的最值問題一直是高考中考查的重點，通過最值問題可以衍生出許多其它的問題，其中的題型千變萬化，而這也給函數最值問題的學習增加了很大難度.即便如此，只要學生對那些解決函數最值問題的方法了然于心，對于不同類型的最值問題采用合適的方法，函數的最值問題將會迎刃而解.

一、配方法

通過配方法解決函數問題是高考中的重要考點，通過對所求的函數進行恒等變形，將原函數轉化為完全平方式，進而求出函數最值.配方法是求函數最值的重要方法，這種方法思路清晰，簡潔明了.下面的例子就是通過配方法求函數最值的典型例題.

例1 求三角函數y=5sinx+cos2x的最值.

點撥本題如果用常規的求導法求解，求解過程會非常繁瑣，此時明智的做法是通過恒等變形，將原三角函數式進行轉化，通過熟悉的函數來求最值，可以使得解題過程大大簡化，達到事半功倍的效果.

二、單調性法

單調性法是解決最值問題的實用方法，通過判斷函數的單調性得到函數最值.通過下面的例子可以深入了解單調性法求函數最值問題.

例2 求函數f(x)=log2(-x2-4x+12)的最大值.

解析本題首先應該通過換元將二次函數轉化為一次函數，然后再利用對數函數的單調性進行求解.可令u=-x2-4x+12=-(x+2)2+16，易得0lt;u≤16，因為y=log2u在(0,+∞)上為增函數，所以log2u≤log216=4.所以f(x)的最大值為4.

點撥本例中通過換元將對數式中的二次函數進行轉化，使得函數變成一般對數函數，通過對數函數的單調性，只要求出換元之后函數u的最值，那么f(x)的最值問題也就迎刃而解了.

三、求導法

求導法是解決最值問題最基本的方法，通過求導法來判斷函數的單調性.求導法經常用于解決綜合題，這類問題難度較大，往往需要進行分類討論，根據對參數的分類討論，從而得出函數的最值.下面的例子就是關于此類問題的一道綜合題，比較具有代表性.

(1)若f(x)在x∈(0,1]上是增函數，求a的取值范圍；(2)求f(x)在區間(0,1]上的最大值.

點撥本例的解題過程比較復雜，但是只要抓住參數的取值這條主線，按部就班地進行分類討論，相對復雜的問題也是可以得到解決的.需要注意的一點是，對于比較有難度的綜合題，第一問一般是第二問的鋪墊，通過仔細研究第一個問題，會對比較有難度的第二問的解決產生較大幫助.

綜上所述，對于不同的最值問題，需要采用不同的方法，對癥下藥是解決問題的關鍵.但是這一切的基礎是對各種方法的熟練掌握，學生在平時的學習中應當認真總結和歸納，只有很好地掌握解決最值問題的各種方法，才能夠吃透最值問題，提高解題能力.

[1]孫西洋.運用換元法巧解對數函數問題[J].新高考,2014(01).

[2]冉獻華.談談如何求函數的值域[J].試題與研究,2014(12).

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0046-02

2017-07-01

蔣先培(1978.11-)，男，云南省曲靖人，中學一級，大學本科，從事數學的一些解法的研究.