求數列通項公式的幾種常用方法和策略

韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學，甘肅 臨夏 731700)

求數列通項公式的幾種常用方法和策略

韓義成

(甘肅省積石山縣積石中學，甘肅 臨夏 731700)

數列是必修模塊中重要內容之一，數列通項公式的求解是做數列題的基礎.本文主要介紹了數列通項公式求解的幾種常用方法：觀察法、定義法、公式法、累加法、累乘法、構造法等，這些方法是高中求數列通項公式的基本方法，使我們必須理解和掌握的.

數列；通項公式；方法

數列是高中數學中重要的模塊之一，以數列為載體可以培養學生觀察能力、理解能力、邏輯思維能力和分析解決問題的能力.高考對數列知識的考查從未間斷過，而且在前幾年，很多省市的高考數學卷都把數列題作為壓軸題.數列的通項公式是數列的核心內容之一，它如同函數中的解析式一樣，有了解析式便可研究性質等；而有了數列的通項公式便可求出數列中的任一項及前n項和等.因此，求數列的通項公式往往是解題的突破口、關鍵點.

1.觀察法

即歸納推理，就是觀察數列特征，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式，然后利用數學歸納法加以證明即可.

若b=1，求a2,a3及數列{an}的通項公式．

2．定義法

直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目.

例2 (2015年北京文科)已知等差數列{an}滿足a1+a2=10，a4-a3=2．

(Ⅰ)求{an}的通項公式；

(Ⅱ)設等比數列{bn}滿足b2=a3，b3=a7，問：b6與數列{an}的第幾項相等？

解(Ⅰ)設等差數列{an}的公差為d. 因為a4-a3=2，所以d=2.又因為a1+a2=10，所以2a1+d=10，故a1=4. 所以an=4+2(n-1)=2n+2 (n=1,2,…).

(Ⅱ)設等比數列{bn}的公比為q. 因為b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2，得n=63.所以b6與數列{an}的第63項相等.

3．公式法

例3 (2015年山東理科)設數列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn=3n+3.

求數列{an}的通項公式.

4．累加法

當遞推公式為an+1=an+f(n)時，其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比較易求 ，通常解法是把原遞推公式轉化為an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解由題意得：

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1

5．累乘法

6.構造法

例6 (2014年新課標全國卷Ⅱ)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

例7 (2007年天津文科)在數列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1.求數列{an}的通項an.

解由an+1=4an-3n+1 得an+1-(n+1)=4(an-n).又a1-1=1， 所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列，所以an-n=4n-1，即an=4n-1+n.

(6)當遞推公式為an+1=panr(其中p,r為常數)時.①若pgt;0,angt;0，可用對數法，即等式兩邊同時取對數，轉化為lgan+1=rlgan+lgp形式求解.②若plt;0，可用迭代法求解.

(Ⅰ)證明anlt;an+1lt;2,n∈N；(Ⅱ)求數列{an}的通項公式an.

解(Ⅰ)略.

解(1)略.

(2)因為4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2),

所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，

即 4an+2+an=4an+1(n≥2).

因為4a3+a1=4a2，所以4an+2+an=4an+1.

[1]高中新課程學習指導編寫組.高中新課程指導-數學[M].鄭州：大象出版社，2015.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0043-03

2017-07-01

韓義成(1973.4-)，男，漢族，中數高級教師，從事高中數學教學研究工作.