淺談高中三角函數中的數學思想

張藝文

(河南省鶴壁市高中，河南 鶴壁 458030)

淺談高中三角函數中的數學思想

張藝文

(河南省鶴壁市高中，河南 鶴壁 458030)

三角函數是高中數學的重要內容之一，本文淺談了幾種基本數學思想在高中三角函數部分的體現.

三角函數；數學思想

函數是中學數學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎.三角函數是函數的一個重要分支，也是考試的重點之一.本文從作者目前高中兩年的學習經歷出發，淺談幾種思想方法，對三角函數部分的體現做出了自己的理解，希望能夠更好地學習三角函數.

一、方程與函數結合的思想

在解決實際問題的過程中，利用函數關系或者方程或方程組把已知量和未知量之間的關系抽象化，求出變量的值，使三角函數問題最終解決的一種思想方法，常用于求值證明等方面.

二、函數中整體思想

在三角函數解題過程中，把一部分或全部轉化成一個整體，找出它們之間的聯系，往往可以使復雜的題目變得簡單起來.多用于化簡求值，研究函數性質等方面.

三、數形結合思想

“數”與“形”中學數學的兩塊基石，初中的課本總是前幾章是“代數”后幾章是“幾何”.期末考試，老師就會強調“數形結合”，一直延續到現在.二者在相互滲透，在一定條件下可以相互轉換.遇到選擇題的時候，可以先了解題意，作出相應的草圖，通過作圖使問題與圖形結合，從而更直觀地表現問題并得出結論.“數形結合”的重點是研究“以形助數”“以數定形”，“數形結合”是一種非常重要的數學思想.利用三角函數圖象，可以直觀地研究解題思路，總結歸納解題方法和技巧，提高實際運用能力.

解由題意知x應滿足

作輔助圖如下：

評析求函數的定義域，就是根據函數式的特點，使各部分有意義，列出不等式(組)，解之即可.在對幾個角求交集時，一般可以借助圖象，這里的圖象分為兩類：數軸和單位圓，然后畫出符合條件的區域.另外，利用數軸和單位圓研究三角函數，是一種十分有效的解題方法.

四、分類討論思想

分類討論的思想方法在數學學習中普遍的存在，它主要是通過數學對象的不同屬性，將其分類并對其進行研究的一種思想方法.分類討論方法可以使相似問題歸類，從而使復雜的問題簡單化.此類思想主要體現在給值求角，以及含參問題的解決上.

例4 已知tanα=2，求4sinα2-3sinαcosα-5cosα2的值.

解tanα=2，易知α為第一或第三象限角.

∴原式=1.

∴原式=1.

綜上所述：原式=1.

評析本題是根據角所在的象限進行分類.

五、化歸思想

研究三角函數問題時，在一定條件下，變換研究對象，將問題轉化并歸結為另一種新對象，這種思維方法稱為化歸轉換思想.我感覺化歸轉換思想在三角函數中應用非常普遍，主要體現在：化多種函數名稱為一種函數；化未知角為已知角；化多角的形式為單角；化高次為低次；化特殊為一般.

例5 已知tanα=2，求sinα2+sinαcosα-2cosα2

評析本題運用了轉化思想——“弦化切”.

總之，三角函數是函數的一個最重要的分支.同時，1.方程思想;2.整體思想;3.數形結合思想;4.分類討論思想;5.化歸思想在本章內容也有著獨特的優勢.如果我們自己能夠做到勤思考、多運用，那么對我們高中數學學科的學習甚至以后的發展都會發揮很重要的作用.

[1]課程教材研究所中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準試驗教科書數學必修4[M].北京：人民教育出版社,2011.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0038-02

2017-07-01

張藝文(2000.10-)女，河南省鶴壁人，高中在校生.