一個組合公式的證明及在取球問題中的應用與推廣

張啟新

(華南師范大學 數學科學學院, 廣州 510631)

一個組合公式的證明及在取球問題中的應用與推廣

張啟新

(華南師范大學 數學科學學院, 廣州 510631)

本文研究了一種不放回的取球問題, 導出了與該問題密切相關的組合公式, 在對公式進行研究后加以推廣, 并將推廣的結果應用到了更廣義的取球問題中.

取球問題; 數學期望; 組合數學; 組合公式

一、公式導出與求解

本文先探究如下的取球問題:

例1 在一個黑箱中放入2n個除顏色外無任何區別的小球, 其中有n個黑球和n個紅球. 現從黑箱中取球, 規則如下: 若取出的是黑球, 則不放回地繼續取球; 若取出的是紅球, 則停止取球. 設取出黑球的數量為X, 求X的數學期望

注1 為了后續的表述方便, 該問題稱為n×n的連續取球問題.

解易知X=0,1,2,…,n, 且

?

一般地, 有

所以取到的黑球數的期望為

因此, 例1轉化成了求解該組合式:

為了求解上述組合式, 首先需要如下引理.

該結論是顯然的, 事實上該式右端只是將左端求和符號內每一項的下標進行倒序重排.

我們有下面的結論.

(1)

證明上式等價于

為此, 只需證明

(2).

將(2)式左端改寫成

利用引理1, 還可改寫為

(3)

上面的步驟將(1)式變化成了(3)式, 我們將證明之.

設fn(k)=(n-k+1)(n+k-2)!k(k+1)…(n+1),

那么(3)式又進一步化成了

Sn(n)=(2n)!

(4)

代入前幾項的值, 可算得

Sn(1)=n!(n+1)!;

Sn(2)=n!(n+1)!+(n-1)n!(n+1)!=nn!(n+1)!;

據此觀察猜想

(5)

(5)式對k=1,2,3,4均成立. 假設結論對k≤s(s為正整數)均成立, 對于k=s+1, 有

Sn(k)=Sn(s+1)

=Sn(s)+fn(s+1)

所以(5)式對k=s+1也成立. 于是由數學歸納法可知, 對于一切正整數k(k≤n), (5)式均成立.

將k=n代入(5)式, 得到

=2n(2n-1)!=(2n)!.

所以(4)式成立, 由此知(1)～(3)式均成立, 證畢.

回到例1, 利用已有結論, 可得

定理1.2n×n的連續取球問題的取球數期望為

二、公式與問題的推廣

例1的取球問題中, 紅球和黑球的地位是對稱的,因此, 定理1的組合公式的應用范圍也僅限于兩種球數量相等的情形, 為此考慮將例1的取球問題推廣到非對稱的情形, 即下面的例2.

例2 在一個黑箱中放入n+m個除顏色外無任何區別的小球, 其中有n個黑球和m個紅球. 現從黑箱中取球, 規則如下: 若取出的是黑球, 則不放回地繼續取球; 若取出的是紅球, 則停止取球. 設取出黑球的數量為X, 求X的數學期望.

注3 為后續表述方便, 稱該問題為n×m的連續取球問題.

解易知X=0,1,2,…,n,且

?

所以取到黑球的數學期望為

因此, 我們導出了一個組合式

易見該組合式是定理1中組合式的推廣.

引理2 (二重數學歸納法)設有一個與兩獨立正整數m,n有關的命題p(m,n), 滿足:

(1)p(m,1)與p(1,n)成立.

(2) 如果p(m,n+1)與p(m+1,n)均成立, 則p(m+1,n+1)也成立

那么該命題對一切正整數m,n均成立.

(6)

證明(6)式等價于

將求和式中的常數項提出來移到等式右邊, 即有

利用引理1, 可化成

定理2轉變為

(7)

所以(7)式對L(m,1)和L(1,n)成立.

如果(7)式對L(m,n+1)和L(m+1,n)成立, 則

=mL(m,n+1)+L(m+1,n)

故(7)式對L(m+1,n+1)也成立, 由引理2知對所有正整數m,n, 均有

定理2證畢.

至此, 例2也得到了解決. 于是有下面的結論.

定理2.2n×m的連續取球問題的取球數期望為

三、進一步推廣

現在, 我們考慮

設其為A, 結合定理2, 有

利用該結果, 還可以有如下的

定理3n×m的連續取球問題的取球數方差為

證明由概率論的方差公式, 有

至此, 我們成功地將導出的組合公式做出了兩種推廣, 并將之用到了具有實際意義的組合問題中. 可見, 將一個問題抽象化為公式之后, 我們可以根據問題本身的特點將公式進行推廣, 并將推廣的結果應用到問題中去, 得出更多的結論.

[1] 熊斌, 田延彥. 國際數學奧林匹克研究[M]. 上海:上海教育出版社，2008：39-40.

[2] 盛驟等. 概率論與數理統計(第四版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2008:100-101.

[責任編輯：楊惠民]

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A

1008-0333(2017)25-0029-03

2017-07-01

張啟新(1996.3-)，男，漢，廣東省廣州人，在校學生.