高中數學含參數不等式恒成立、有解問題的求解策略

駱秀金

(湖南省懷化市第三中學,湖南 懷化 418000)

高中數學含參數不等式恒成立、有解問題的求解策略

駱秀金

(湖南省懷化市第三中學,湖南 懷化 418000)

本文主要結合具體實例談談高中數學含參數不等式恒成立與有解問題的一般求解策略.

含參不等式；恒成立；有解；解法

高中數學中含參數不等式問題，是高考的一個熱點，具有較強的綜合性.高考命題專家可以把高中數學中的主干知識，如不等式、函數、數列、解析幾何等內容通過含參數不等式的題型將它們有機地結合起來，達到考查考生各種數學能力與數學思想的目的.在復習的過程中，引導學生進行相關的解題策略的強化訓練，對提高學生的綜合解題能力，培養學生數學思維的靈活性、創造性等方面都有獨到的作用.

一、直接法

解不等式的過程是一系列等價轉化的過程，對于有關不等式的“解”的問題，直面不等式求解，有時是問題解決的需要，有時是解決問題的基礎或手段.

分析由已知函數f(x)是抽象函數，不知其解析式，因此要根據函數f(x)的單調性去掉對應關系f，轉化為自變量的大小關系求解.

二、判別式法

當一個不等式問題可轉化為一元二次不等式問題時，則可考慮用判別式法求解.此類問題的一般結構如下：

一般地，對于二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，有f(x)gt;0(或f(x)lt;0)對x∈D恒成立或有解．可考慮①判別式的值；②對稱軸的位置；③端點函數值的符號．列出不等式組求解．

例2 已知函數f(x)=x2-2mx+2,當x∈[-1,+∞)時，f(x)≥m.求實數m的取值范圍.

分析不等式f(x)≥m?x2-2mx+2-m≥0.令g(x)=x2-2mx+2-m.結合函數y=g(x)的圖象，可考慮下列三個方面：①判別式的值；②對稱軸的位置；③端點函數值的符號．列出不等式組求解．

三、函數最值法

一些不等式恒成立問題或有解問題，若它能與函數聯系起來，我們可以嘗試將此問題轉化為求函數最值問題處理．此類問題的一般結構如下：

(1)f(x)gt;0(x∈D)恒成立等價于f(x)mingt;0;f(x)lt;0(x∈D)恒成立等價于f(x)maxlt;0.

(2)f(x)gt;0(x∈D)有解等價于f(x)maxgt;0;f(x)lt;0(x∈D)有解等價于f(x)minlt;0.

例3 (2016新課標全國卷Ⅲ.理24) 已知函數f(x)=|2x-a|+a.

(1)當a=2時，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)設函數g(x)=|2x-1|,當x∈R時，f(x)+g(x)≥3.求a的取值范圍.

分析(1)解題過程略．f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}.

(2)注意到不等式f(x)+g(x)≥3中的參數a不能分離出來，可轉化為求函數y=f(x)+g(x)的最小值求解．

簡解當x∈R時，f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a，

所以當x∈R時，f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|+a≥3.①

當a≤1時，①等價于1-a+a≥3，無解.

當agt;1時，①等價于a-1+a≥3，解得a≥2.

所以a的取值范圍是[2,+∞).

四、分離參數法

如果含參數不等式能通過變形，使參數與其他變量分布在不等式兩邊，可將問題轉化為求未知量函數的最值問題，利用函數的最值的求法求解．此類問題的一般結構如下：

(1)g(a)gt;f(x)(x∈D)恒成立等價于g(a)gt;f(x)max;g(a)lt;f(x)(x∈D)恒成立等價于g(a)lt;f(x)min.(2)g(a)gt;f(x)(x∈D)有解等價于g(a)gt;f(x)min;g(a)lt;f(x)(x∈D)有解等價于g(a)lt;f(x)max.

例4 (2016新課標江蘇卷19)已知函數f(x)=ax+bx(agt;0,bgt;0,a≠1,b≠1).

(2)略.

分析(1)不等式中的參數m很容易分離出來，故用分離參數法求解．

簡解由條件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.

五、變換主元法

如果一個不等式含有兩個未知量(一個變量，一個參數),且已知參數的取值范圍，可以通過變量轉換，以參數為主元，構造以該主元為自變量的函數，利用基本初等函數的性質求解．

例5 如果不等式2x-1gt;m(x2-1)對于m∈[-2,2]成立,求x的取值范圍．

分析注意到這里限定m的范圍，所以若將已知不等式視為關于m的一次型不等式，求其系數中所含x的取值范圍，于是，利用一次函數的單調性便可輕易破解．

簡解原不等式等價于(1-x2)m+(2x-1)gt;0.設f(m)=(1-x2)m+(2x-1).

六、圖象法

某些含參數不等式恒成立問題，既不能分離參數求解，又不能轉化為某個變量的一次或二次函數時，則可采用圖象法求解，我們可以先把不等式(或經過變形后的不等式)兩端的式子分別看成兩個函數，且畫出兩函數的圖象，然后通過觀察兩圖象(特別是交點)的位置關系，從而列出關于含參數的不等式，達到求解的目的．

A. (-∞，0] B. (-∞，1]

C.[-2，1] D.[-2，0]

分析運用函數的圖象變換知識畫出兩函數y=|f(x)|,y=ax的圖象(如圖)，然后比較兩函數圖象的位置關系求解．

簡解如圖，∵|f(x)|≥ax恒成立，∴函數y=|f(x)|的圖象在直線y=ax的上方.

當xgt;0時，顯然a≤0.

當x≤0時，直線y=ax與函數y=x2-2x的圖像相切時，a=-2.故a∈[-2,0].選D.

上面介紹了含參數不等式恒成立、有解問題的幾種解法，在解題過程中，要靈活運用題設條件綜合分析，選擇適當方法準確而快速地解題．

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準試驗教科書(必修)數學4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

[責任編輯：楊惠民]

G632

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1008-0333(2017)25-0026-02

2017-07-01

駱秀金，男，中學高級教師，從事高中數學教學.