高中數學的恒成立問題分析

李笑妍

(山東省肥城市泰西中學2015級13班,山東 泰安 271600)

高中數學的恒成立問題分析

李笑妍

(山東省肥城市泰西中學2015級13班,山東 泰安 271600)

本文以高中數學的恒成立問題分析為主題，從幾個方面進行詳細的討論.

高中數學；恒成立問題

在高中數學的學習中，恒成立問題主要是不等式的證明、方程與函數相結合等知識內容，進而考查我們對其中相應的數學解題技巧和方法的掌握程度.同時，經常會有一些參數的取值范圍來考查我們嚴謹度等數學素養，所以，恒成立問題雖然只是高中數學中的一部分，但是可以將各種知識結合起來，對我們數學的綜合素質進行考查.

一、結合圖象證明恒成立問題

在高中數學恒成立的問題解答中，我們可以結合其他數學知識和解題技巧，來快速的完成相應的恒成立問題.其中，結合圖象法能夠讓我們對所證明的問題有一個清晰的目的，并且熟練運用數學條件之間的關系，高效地完成高中數學恒成立問題.下面舉例進行說明結合圖象法完成相應數學恒成立問題的解答.當0lt;xlt;π/2時，比較x,sinx與tanx的大小.根據這道數學題，學生們可以首先構建一個原點為O的直角坐標系，然后以原點為圓心作出一個單位圓，與橫軸的正方向相交于點A.然后再作出角x，與單位圓的交點為點P，過點A作橫軸的垂線交于點Q.過點P作橫軸的垂線，垂足為點B.通過做出的數學模型，學生們可以直觀地看出來，三角形POA的面積小于扇形OPA的面積小于三角形OAQ的面積，然后通過三角形和扇形的面積公式，學生們可以得出線段PB的長度小于AP弧的長度小于AQ的長度，學生們再通過數學模型來找出x,sinx，tanx的意義，找出對應的線段和弧長，最后得出sinxlt;xlt;tanx的結論.又如下面這道數學證明題，證明：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)lt;1.通過我們對題意的理解，動手試試解答.我們不難發現通過以往證明不等式的方法很難證明出，所以，我們就要發散自己的思維，對題意進一步了解.通過對題意的仔細思考，我們不難發現，1-x、1-y和1-z都是正數，并且可以看作是兩線段積的和，聯想三角形的面積公式s=(absinC)/2.我們可以構造三角形進行解答，進而將題目中的數量問題轉化為圖形關系問題，如右圖.構造出一個邊長為1的等邊三角形，在AB，BC，CA，上各取點P，Q，E，使得AP=x,BQ=z,CE=y,那么BP=1-x,CQ=1-z.AE=1-y.我們通過圖形不難發現，三角形APE的面積與三角形BPQ的面積與三角形CQE的面積之和小于三角形ABC的面積，再經過相應的化簡，最終得出我們所要證明的問題.在高中數學恒成立問題分析和解答中，將所給的數學條件轉化為相應的圖象，然后思考出一個證明的思路，進而快速高效地完成該數學恒成立問題，提高自身的綜合數學素養.

二、函數中的恒成立問題分析

在高中數學知識的學習中，可以說一直是我們所要研究的對象，將其他的數學知識結合到函數中以恒成立問題的方式進行考查.我們經常會因為其中包含的知識較多，而沒有一個清晰的解題思路.下面將舉例分析函數中恒成立問題的解答.例如，函數f(x)=kx+1gt;0(k≠0),x∈[-1,1]恒成立，求解k的取值范圍.我們在該問題的解題過程中，首先需要該函數的表達式進行判斷該函數是否具有單調性和增減性，我們可以直接看出該函數為基礎的一次函數，其增減性由k的值來決定，所以我們可以運用分類討論的解題思想.當kgt;0時，該函數單調遞增，只需要x的值取-1的時候大于0就可以了；當klt;0時，該函數為單調遞減，只需要將x的值為1的時候大于0.這樣結合以上的解題思路，列出兩個不等式組，進而運用不等式相關知識完成該問題的解答.在這道題中，要想證明該函數大于0恒成立，只需要將其恒成立所需要的條件一一例舉出來，結合成不等式組，通過解不等式組的方式來完成該恒成立問題的解答.除此之外，比如下面這道數學恒成立問題.設函數f(x)=(m-1)x2+(m-1)x+2gt;0的解集為R，求m值的取值范圍.我們根據該函數的表達式可見為一元二次方程，其中對該方程的解集我們有專門的公式，Δ=b2-4ac,通過對該方程式的取值來求解方程的解集.所以，在這道題的解答中，運用該判定公式來求出一個關于m的不等式，結合不等式的解題方法和數學知識，完成最終m取值范圍的解答.在該數學恒成立問題中，需要對函數性質和相關公式的熟練掌握和運用，進而完成恒成立問題的解答.

三、化歸思想解答恒成立問題

總而言之，對高中數學中恒成立問題的解答，我們需要有一個夯實的數學知識基礎，能夠對重點問題解答的技巧和方法熟練地掌握和運用，進而提高恒成立問題解答的能力.

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[責任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)25-0018-02

2017-07-01

李笑妍(2000-)女，山東泰安人,高中在讀.