向量世界的“厚積薄發(fā)”

吳 菲

(江蘇省南京市高淳區(qū)湖濱高級中學(xué),江蘇 南京 211316)

向量世界的“厚積薄發(fā)”

吳 菲

(江蘇省南京市高淳區(qū)湖濱高級中學(xué),江蘇 南京 211316)

平面向量作為高考必考的內(nèi)容，其應(yīng)用性往往是學(xué)生薄弱的一塊，本文就此進(jìn)行討論，希望引起共鳴.

向量；不等式；立體幾何

圖1

平面向量作為高中數(shù)學(xué)中重要的一章，歷年來備受各種考試的重視，尤其是在高考中，更是雷打不動的出現(xiàn).向量這一章以其靈活多變的題型和方法，對于學(xué)生而言，也是一個(gè)很大的重點(diǎn)和難點(diǎn).向量作為代數(shù)和幾何的綜合體，向量問題本身的解決多半就有代數(shù)和幾何的方法，尤其突出一點(diǎn)的是，向量可以作為一種工具，解決數(shù)學(xué)中很多其他的問題.本文就來談一下關(guān)于向量在數(shù)學(xué)其他問題當(dāng)中的應(yīng)用，讓我們來體會向量這個(gè)工具的優(yōu)越性.

例1 如圖1所示，無彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC下端系著一個(gè)稱盤，且使得OB⊥OC，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，判斷哪根繩子受力最大．

解析本道題是高中物理當(dāng)中的一道力的問題，其實(shí)在高中物理中，我們也提到了向量，但是跟高中數(shù)學(xué)當(dāng)中有所不同的是， 物理當(dāng)中沒有數(shù)學(xué)中所表述的具體和集中，例如這道題，對于三根繩子的受力大小，其實(shí)就是我們所說的向量的模長.設(shè)繩子OA受力為a，OB受力為b，OC受力為c，由三力平衡可得a+b+c=0，由于b和c的夾角為90°，所以a=-b-c,兩邊取其模，可得|a|=|-b-c| ，由向量中|a|2=a·a，|a|2=|-b-c|2=(-b-c)2=b2+c2+2b·c=|b|2+|c|2,所以我們能看出a的模長最大，故而繩子OA所受的力最大，將這道題利用向量來解決，其實(shí)就是模長的問題，所以極大地簡化了問題.

向量不僅在代數(shù)中有諸多應(yīng)用，在立體幾何問題中，點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面的距離，線面所成角，面面所成角，還有線面，面面的位置關(guān)系這些題型當(dāng)中都有很大的優(yōu)越性，使用向量的方法求解立體幾何問題，其實(shí)就是一個(gè)將圖形量化的過程，過程單一且直觀，學(xué)生易掌握，以下舉例說明.

(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PBE，并說明理由；

(2)若二面角P-CD-A的大小為 ，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD=A，

所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD,

從而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，所以∠PDA=90°.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD

設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2

設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，

新課程加強(qiáng)了平面向量的應(yīng)用，教材中也設(shè)計(jì)了不少用向量方法研究平面圖形性質(zhì)的問題，隨著高考的改革，向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位應(yīng)該越來越高，其靈活多變的形式，以及以上我們提到的向量的應(yīng)用必將成為考試的熱點(diǎn)，我期待此文投石問路，期待大家能利用向量解決越來越多的問題.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]劉玉斌.向量在幾何中的應(yīng)用[J].科技視野，2013(23)：133.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0012-02

2017-07-01

吳菲(1983.3-),女，安徽人，現(xiàn)任南京市高淳區(qū)湖濱高級中學(xué)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.