例析處理橢圓中的最值問題的方法與策略

鄧華清

(廣東省河源市龍川縣第一中學，廣東 河源 517300)

例析處理橢圓中的最值問題的方法與策略

鄧華清

(廣東省河源市龍川縣第一中學，廣東 河源 517300)

在關于橢圓的問題中，最值問題相對較難.因為此類問題中存在的變量較多，所涉及的知識面也比較廣泛.在幾何問題的研究中，橢圓的最值問題是最具有代表性的.其實，這類問題都可以通過基本的概念來解決，只要掌握了其中的含義，結合幾何問題及函數問題的知識點，解決這類問題便不再困難.

橢圓；最值問題；方法策略

一、幾種常見的最值結論

例如，在一個橢圓中，方程式為x2/a2+y2/b2=1(agt;bgt;0)，假設F1為橢圓的左焦點，F2為橢圓的右焦點，橢圓上的任意一點Q，以及短軸的頂點為M.根據相關橢圓的知識點，可得出的結論主要有四點：

1.在這個橢圓中，焦半徑最長為a+c，最短為a-c；

2.在這個橢圓中，經過中心的弦中，最長的弦等于長軸的長度，即為2a，最短的弦等于短軸的長度，即為2b；

3.在這個橢圓中，最長的焦點弦也等于長軸的長度，即為2a，但最短的焦點弦等于通徑的長度，即為2b2/a；

4.在這個橢圓中，焦點三角形中的頂角∠F1QF2最大等于∠F1MF2，并且這個三角形的面積的最大值等于bc.

二、幾何法

在計算過程中，如果給出的題目能夠與幾何問題中的知識點相聯系，就可以采用幾何法來解決問題.

解題時，先根據給出的條件畫出橢圓的圖形，如圖1.

所以這道例題的答案為7.

例題1和例題2的問題適用于解決在橢圓問題中的最值問題.其實，在橢圓問題中，只要例題中給了焦點、準線或者離心率等已知條件，便可以通過橢圓的幾大定義，結合幾何圖形中的性質，成功地解出相關問題的答案.

三、代數法

如果在解答橢圓問題的過程中，發現已知條件與書本上的最值結論并不能直接相結合來解題時，便可以通過使用代數法進行最值問題的解答.

在解答這道例題時，可以使用三角換元法來解答.從題目中給出的已知條件，聯系在三角中學到的關系式sin2α+cos2α=1來解題.

另外，也可以使用判別式法對這道例題進行解答.可以利用當橢圓與某條直線相切時，截距則為最值來解題.

在一般情況下，對于求解橢圓問題中某一動點到某條定線或者某個定點的距離的最值問題，采用三角換元法和判別式法都是比較有效的解題方法.同樣的，若將上述例題中所求問題改為求“y-4/x-3”的最值問題，也可以將它看成是橢圓上的某個點，坐標為(x，y)，與某一定點，坐標為(3，4)連成直線后的求解斜率的問題，進而再轉化成某條直線與橢圓相切或者三角函數的最值來解答問題.

橢圓中的最值問題并不難解，只要學會通過將橢圓的定義與幾何法或者代數法聯系起來，根據題意列出所需的方程式，那么問題便迎刃而解了.

[1] 程宏勇.剖析橢圓中最值問題的幾個視角[J].新高考，2014(01)：55-56.

[2] 鄭日峰.多遠條件最值問題的常見策略[J].新高考，2015(05)：32-33.

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)25-0004-02

2017-06-01

鄧華清(1979.11-)，女，廣東省河源市龍川縣車田鎮，中學一級教師，本科，從事高中數學解題研究．