等比數列實際應用賞析

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

等比數列實際應用賞析

■江蘇省太倉市明德高級中學 王佩其

等差數列無處不在,等比數列也是如此,下面給同學們舉上幾例。

一、節能減排問題

我國積極應對氣候變化,提出到2020年碳排放強度要達到比2005年下降40%的減排目標。已知2005年我國碳排放強度約為3噸/萬元,以后每年的碳排放強度均比上一年減少0.08噸/萬元。

(1)問能否在2020年實現減排目標,并說明理由。

(2)若2005年我國國內生產總值為a萬元,且以后每年均以8%的速度遞增,問從哪年起二氧化碳排放量開始減少。注釋:“碳排放強度”是指每萬元國內生產總值的二氧化碳排放量。

解析:(1)依題意知,自2005年起每年的碳排放強度構成等差數列{an},且a1=3,公差d=-0.08,所以an=3+(n-1)·(-0.08)=3.08-0.08n。因此,2020年碳排放強度為a16=1.8。又3.0×(1-40%)=1.8,所以2020年能實現減排目標。

(2)從2005年起,逐年國內生產總值構成首項為a,公比為1.08的等比數列,所以第n年國內生產總值為a·1.08n-1萬元。由(1)知第n年碳排放強度為an=3.08-0.08n,故第n年全國二氧化碳排放總量為bn=a·1.08n-1·(3.08-0.08n)。

所以bn+1=a·1.08n·(3.08-0.08n-0.08)=a·1.08n·(3-0.08n)。

因此,bn+1-bn=a·1.08n·(3-0.08n)-a·1.08n-1·(3.08-0.08n)

=a·1.08n-1·(0.16-0.0064n)。

由bn+1＜bn,解得n≥25。

故從第26年也就是2030年開始,全國二氧化碳排放的總量開始減少。

點評:在實際問題中,常常遇到有關平均增長率(如復利、人口增長率、產值增長率等)的問題,求解時常用到公式y=N(1+p)x,其中N表示原來產值的基礎數,p為平均增長率,y表示對應于時間x的產值。

二、中國人口問題

中國人口已經出現老齡化與少子化并存的結構特征,測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一,再不實施“放開二胎”新政,整個社會將會出現一系列的問題。若某地區2015年人口總數為45萬,實施“二胎”新政后專家估計人口總數將發生如下變化:從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人,從2026年開始到2035年每年人數為上一年人數的99%。

(1)求實施新政策后第n年的人口總數an的表達式(注:2016年為第一年);

(2)若新政實施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬,則需調整政策,否則繼續實施,問到2035年后是否需要調整政策。(說明:0.9910=(1-0.01)10≈0.9。)

解析:(1)由題意可知,從2016年開始到2025年每年人口數成等差數列,而從2026年開始到2035年每年人口數組成一個等比數列,由等差數列與等比數列的通項公式寫出即可。

當n≤10時,數列{an}是首項為45.5,公差為0.5的等差數列,故an=45.5+0.5×(n-1)。

當n≥11時,數列{an}是公比為0.99的等比數列,又a10=50,所以an=50×0.99n-10。

因此,實施新政策后第n年的人口總數an(單位:萬)的表達式為:

(2)先求出從2016年到2035年的人口總數S20,再求其平均值即可。

設Sn為數列{an}的前n項和,則從2016年到2035年共20年,由等差數列及等比數列求和公式得:

S20=S10+(a11+a12+…+a20)

=477.5+4950×(1-0.9910)≈972.5(萬)。

點評:本題難度中等,考查了數列知識的實際應用。本題命題的著眼點是當今社會的熱點:“二胎”新政和社會老齡化問題。用數列知識來詮釋社會問題,體現出數學與現實的密不可分。

三、我國數學史上的等比數列

《算法統宗》全稱《新編直指算法統宗》,是中國古代數學名著,由明代數學家程大位著。書中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初步健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數,請公仔細算相還。”

題目的大意為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地。”則該人最后一天走的路程是多少?

解析:仔細閱讀題目,不難看出這是個等比數列問題,可以歸結為“知三求二”的基本題型。

記每天走的路程里數為{an},則數列的等比數列,且該數列的前六項之和S6=378。

由等比數列前n項求和公式,可得S6=

所以該人最后一天走的路程是6里。

(責任編輯 徐利杰)