數列綜合測試題（B卷）答案與提示

數列綜合測試題（B卷）答案與提示

一、填空題

1.B 提示:數列的通項公式不唯一,有的數列沒有通項公式,所以①④不正確。

2.C

3.B

4.B 提示:由題意知:a3=a2-a1=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3,a8=6,

a9=3,a10=-3,…,故{an}是周期為6的數列,a2016=a6=-3。

6.C對任意的n∈N*恒成立,因此,logq2＜nmin,logq2＜1,即0＜q＜2。又0＜q＜1,則0＜q＜1。當q=1時,對任意的n∈N*,有S2n＜3Sn成立。綜上可得,0＜q≤1。

18.B 提示:由題意,a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=100。

19.C

當a=1時,an=0,數列{an}是一個常數列,也是等差數列;當a≠1時,數列{an}是一個等比數列。

21.D 提示:等比數列{an}的通項公式為an=2n-1,數列{bn}通項公式為bn=2n,所以Sn=n2+n。

當n≤3時,cn+1＞cn,當n=4時,cn+1=cn,當n≥5時,cn+1＜cn,故cn取最大值時,n的值是4或5。

22.C

24.C 25.D 26.C 27.C 28.D 29.C 30.D 31.B 32.A 33.C 34.C 35.A

二、填空題

36.n

37.50 提示:因為{an}為等比數列,所以由已知可得a10a11=a9a12=a1a20=e5,則lna1+lna2+…+lna20=ln(a1a2a3…a20)。

而a1a2a3·…·a20=(a1a20)10=(e5)10=e50,因此lna1+lna2+…+lna20=50。

39.211 提示:當n＞1時,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),可以化為(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即n＞1時,an+1-an=2,即數列{an}從第二項開始組成公差為2的等差數列,所以S15=a1+(a2+…+a15)=211。

當n=1時,a1=S1=26;

當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2×3n+1。

46.1306 提示:由題設可得a2n+a2n+1=n+1。

取n=1,2,3,…,49可得a2+a3=2,a4+a5=3,a6+a7=4,…,a98+a99=50,將以上49個等式兩邊分別相加可得a2+a3+49=1274。又a3=a1+1=2,a6=3-a3=1,a12=6-a6=5,a25=a12+1=6,a50=25-a25=19,a100=50-a50=31,所以S100=1+1 274+31=1306。

47.p=2或3 提示:因為數列{cn+1-pcn}為等比數列,所以(cn+1-pcn)2=(cnpcn-1)(cn+2-pcn+1)。

將cn=2n+3n代入上式得:

[2n+1+3n+1-p(2n+3n)]2=[2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)]·[2n+3n-p(2n-1+3n-1)]。

三、解答題

48.(1)由于an+1=(n2+n-λ)an,n=1,2,…,且a1=1,把a2=-1代入上式得-1=2-λ,故λ=3。

從而a3=(22+2-3)×(-1)=-3。

(2)數列 {an}不可能為等差數列,證明過程如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得:

a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ)。

若存在λ,使{an}為等差數列,則a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3。于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24。這與{an}為等差數列矛盾。所以,不存在λ使{an}是等差數列。

49.(1)由Sn=2an-a1得Sn-1=2an-1-a1(n≥2),所以an=2an-1(n≥2)。

因為a1,a2+1,a3成等差數列,所以a1+a3=2(a2+1),即a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2。

從而an≠0,于是得到

數列{an}是以2為公比的等比數列,所以求數列{an}的通項公式an=2n。

=-(n-5)2+25,當n=5時,Sn取得最大值。

52.(1)設數列{an}的公差為d,數列{bn}的公比為q。

因為m,t為正整數,所以t只能取2,3,5。

當t=2時,m=7;當t=3時,m=5;

當t=5時,m=4。

所以存在正整數t,使得b1,b2,bm成等差數列。

55.(1)設等比數列的公比為q,因為a1,a4,a13分別是等比數列{bn}的b2,b3,b4項,所以(a1+3d)2=a1(a1+12d)。

又a1=3,所以d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去)。

所以an=3+2(n-1)=2n+1。

整理得Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*)。

59.(1)當n=1時,S1=2a1-22,得a1=4。

Sn=2an-2n+1。

當n≥2時,Sn-1=2an-1-2n,兩式相減得an=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n。

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(責任編輯 徐利杰)