如何利用函數的單調性解題

■河南省沈丘縣第二高級中學高二(23)班 王玢珂

如何利用函數的單調性解題

■河南省沈丘縣第二高級中學高二(23)班 王玢珂

函數的單調性是我們在學習函數時要掌握的重要性質之一,也是每年高考考查函數時要重點考查的內容。在高考試題中,我們通常所見到的應用函數單調性來解決的問題不外乎求參數的取值范圍、解不等式與求函數的最值等三類。

一、利用函數的單調性求取值范圍

二、利用函數的單調性解不等式

如果是利用函數的單調性解不等式,則一定要注意函數的定義域,也就是要先落實函數的定義域,否則極易出現錯解。

例2 已知函數f(x)是增函數,定義域為(0,+∞),且f(4)=2,f(xy)=f(x)+f(y),求滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范圍。

解析:因為f(x)+f(x-3)≤2,f(xy)=f(x)+f(y),所以f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤2=f(4)。

又因為f(x)在(0,+∞)上是增函數,所以x(x-3)≤4,解得-1≤x≤4。

由題意知,滿足f(x)+f(x-3)≤2的x的解可由以下不等式組解得:

故x的取值范圍是3＜x≤4。

三、利用函數的單調性求函數的最值

因為0＜x1＜x2≤1.6,所以x1-x2＜0,且x1·x2-3＜0。

所以f(x1)-f(x2)＞0,即函數f(x)在0＜x≤1.6上是減函數。

所以f(x)≥f(1.6)=-0.525,故所求函數的最小值為-0.525,無最大值。

評析:該題是一個解答函數求解最值的問題,函數單調性在解答過程中的運用主要體現在通過題設所給函數等價變形為f(x),把原問題轉化為對函數單調性的討論,明確單調性后利用單調性達到求解最值的目的。

(責任編輯 趙 平)