經典題突破方法

■江蘇省太倉市教師發展中心 邵 紅

經典題突破方法

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我們知道,已知一個數列是等比數列及其首項和公比,求這個數列的通項,是件輕而易舉的事。若不知該數列是否為等比數列時,我們如何來求它的通項呢?一個字“變”!真可謂:變一變,天塹變通途。

1.利用遞推關系,“變出”等比數列

已知等比數列{an}的首項a1=1,公比0＜q＜1,設數列{bn}的通項為bn=an+1+an+2,求數列{bn}的通項公式。

分析:數列{an}是等比數列,那么{bn}也是等比數列嗎?可試探是為是常數。

解:由題意知bn+1=an+2+an+3。又{an}是等比數列,公比為q,故:

點評:對于有些數列試題,雖然題目中沒有告訴我們它是等比數列,但是我們不妨大膽猜想,利用遞推關系判斷它是否為等比數列。

2.利用對數函數,“變出”等比數列

若數列{an}中,若a1=3,且an+1=an2(n是正整數),則數列的通項公式an=____。

分析:將an+1=an2兩邊取對數,可發現{lgan}是等比數列。

解:因為an+1=an2,所以an＞0(n∈N*)。

兩邊取對數,得lgan+1=2lgan。

{lgan}是以lga1=lg3為首項,2為公比的等比數列,lgan=(lga1)·2n-1=。

點評:通過構造對數函數達到降次的目的,使原來的遞推關系轉化為等比數列進行求解,從而使問題順利獲解。

3.通過分解常數,“變出”等比數列

已知數列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2),求{an}的通項公式。

分析:{an}雖然不是等比數列,但{an+m}(m是常數)是等比數列嗎?

解:an=2an-1+1(n≥2),即an=2an-1+2-1(n≥2),an+1=2(an-1+1)(n≥2)。

又a1+1=2,故數列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數列,an+1=2n,即an=2n-1。

點評:這個題目通過對關系式中1的分解,進行適當組合,可得等比數列{an-1},從而達到解決問題的目的。一般地,形如an+1=pan+q(p≠1,pq≠0)型的遞推式均可通過待定系數法對常數q分解:設an+1+k=p(an+k)與原式比較系數可得pk-k=

4.通過分解系數,“變出”等比數列

數列{an}滿足a1=2,a2=5,an+2-3an+1+2an=0,求數列{an}的通項公式。

分析:遞推式an+2-3an+1+2an=0中含相鄰三項,因而考慮每相鄰兩項的組合,即把中間一項an+1的系數分解成1和2,適當組合,可發現一個等比數列{an-an-1}。

解:由an+2-3an+1+2an=0,得an+2-an+1-2(an+1-an)=0,即an+2-an+1=2(an+1-an)。且a2-a1=5-2=3,故{an+1-an}是以2為公比,3為首項的等比數列,an+1-an=3·2n-1。

利用逐差法可得an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1

=3·2n-1+3·2n-2+…+3·20+2

=3·(2n-1+2n-2+…+2+1)+2

故an=3×2n-1-1

點評:這種方法適用于an+2=pan+1+qan型的遞推式,通過對系數p的分解,可得等比數列{an-an-1}:設an+2-kan+1=h(an+1-kan),比較系數得h+k=p,-hk=q,可解得h,k。

(責任編輯 徐利杰)