數(shù)列常見思維誤區(qū)辨析

■河南省商丘市第三高級中學(xué) 孟慶芬

數(shù)列常見思維誤區(qū)辨析

■河南省商丘市第三高級中學(xué) 孟慶芬

數(shù)列是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容,作為一種特殊的函數(shù),這部分內(nèi)容的易錯(cuò)點(diǎn)多,同學(xué)們?nèi)菀紫萑胨季S的誤區(qū),且不易察覺。下面對常見的易錯(cuò)題型進(jìn)行剖析、找出錯(cuò)因,希望對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、忽略數(shù)列的定義域?yàn)镹*而致錯(cuò)

錯(cuò)因分析:上述解法僅考慮了函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)是單調(diào)遞增的情形,忽略了數(shù)列作為函數(shù)的一種,其定義域?yàn)镹*的特殊性。其實(shí),考慮數(shù)列的n∈N*,n的取值是離散的,只需要滿足an=f(n)(n∈N*)在[1,7],[8,+∞)上分別遞增,且a7＜a8即可。

總結(jié):從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列是定義在正整數(shù)集N*或其子集上的函數(shù),其圖像是一列離散的點(diǎn),數(shù)列的單調(diào)性可以借助函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行考慮,但是要注意其特殊性,借助圖像,避免出錯(cuò)。

二、忽略等比數(shù)列的隱含條件而致錯(cuò)

等比數(shù)列{an}中,S2=7,S6=91,求S4的值。

錯(cuò)解:因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,S2=7,S6=91,從而q≠-1,S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,于是有(S4-S2)2=S2·(S6-S4),解得S4=28或S4=-21。

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解忽略了數(shù)列S2,S4-S2,S6-S4的公比為原數(shù)列{an}的公比q的平方,所以S2,S4-S2,S6-S4這三項(xiàng)是同號的。

正解:因?yàn)閧an}為等比數(shù)列,S2=7,S6=91,從而q≠-1,S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,于是有(S4-S2)2=S2·(S6-S4),解得S4=28或S4=-21,又S4-S2=q2S2,故S4=28。

總結(jié):等比數(shù)列有很多特殊性。(1)在定義中可以得出:0不會(huì)出現(xiàn)在等比數(shù)列中,公比q≠0。(2)等比數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)都同號,所有的偶數(shù)項(xiàng)都同號。做題時(shí)要充分考慮這些特性,以避免出錯(cuò)。

三、對前n項(xiàng)和的理解錯(cuò)誤而致錯(cuò)

則a11=S11-S10=(7×11+1)k-(7×10+1)k=7k。

b11=T11-T10=(4×11+27)k-(4×10+27)k=4k。

錯(cuò)因分析:“設(shè)Sn=(7n+1)k,Tn=(4n+27)k,k≠0”這種設(shè)法雖然可以成立,但是錯(cuò)在認(rèn)為k是與n無關(guān)的常數(shù)。其實(shí)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=d≠0時(shí),Sn是關(guān)于n的一元二次函數(shù),且常數(shù)項(xiàng)為0。故應(yīng)設(shè)Sn=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn才與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的特點(diǎn)相符合。

正解:設(shè)Sn=(7n+1)kn,Tn=(4n+27)kn,k≠0。

a11=S11-S10=(7×11+1)k×11-(7×10+1)k×10=148k。

b11=T11-T10=(4×11+27)k×11-(4×10+27)k×10=111k。

總結(jié):正確把握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn),從求和公式出發(fā)求解,才能正確解決這類問題。

四、利用an=Sn－Sn－1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)忽視條件n≥2而致錯(cuò)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+4n+3,試判斷數(shù)列{an}是否為遞增數(shù)列,并說明理由。

錯(cuò)解:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,理由如下:

因?yàn)閍n=Sn-Sn-1=2n+3,所以an+1-an=2(n+1)+3-(2n+3)=2＞0。故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。

錯(cuò)因分析:求解本題時(shí),應(yīng)明確an=Sn-Sn-1成立的條件是n≥2,數(shù)列an{}的通項(xiàng)公式中的an應(yīng)包含第一項(xiàng)a1,所以an+1-an＞0(n≥2)只能說明數(shù)列{an}是從第2項(xiàng)開始的遞增數(shù)列,所以對于n=1時(shí)是否滿足要求應(yīng)該進(jìn)行驗(yàn)證。

正解:數(shù)列an{}不是遞增數(shù)列,理由如下:

因?yàn)閍1=S1=8,an=Sn-Sn-1=2n+3(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),2n+3=5≠8,所以an=當(dāng)n=2時(shí),a2=2×2+3=7＜a1,故數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列。

總結(jié):數(shù)列的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和公式Sn的關(guān)系是Sn-Sn-1求an時(shí),成立的條件是n≥2,應(yīng)先求出通項(xiàng)公式,決定通項(xiàng)公式是否為分段形式,再判斷函數(shù)的單調(diào)性。

五、對求和公式的適用條件把握不準(zhǔn)致錯(cuò)

求和a-1( )+a2-2( )+a3-3( )+…+an-n( )。

錯(cuò)解:令 Sn=a-1( )+a2-2( )+a3-3( )+…+an-n( )。

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中,計(jì)算a+a2+a3+…+an的和時(shí),由于對數(shù)列a,a2,a3,…,an的性質(zhì)不清楚,忽略了對a的分類討論而導(dǎo)致出錯(cuò)。

正解:令Sn=a-1( )+a2-2( )+a3-3( )+…+an-n( )。

則 Sn=a+a2+a3+…+an(

)-1+2+…+n()。

綜上所述,得:

總結(jié):利用等比數(shù)列的求和公式Sn=求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí),首先要確定數(shù)列是否為等比數(shù)列,若是等比數(shù)列,應(yīng)對公比q進(jìn)行分類討論,最后結(jié)果化為最簡形式。

(責(zé)任編輯 趙 平)