導數、微積分知識結構與拓展

■鄭州一中 潘瑩慧

導數、微積分知識結構與拓展

■鄭州一中 潘瑩慧

一、知識結構框架

二、結構分析

函數是兩個數集間的一種特殊對應,是兩個變量間的變化規律,函數的導數和定積分是函數知識的提升,它們都是特殊類型的極限,極限是研究變量在無限變化中的變化趨勢,本質是靜止中認識運動,有限中認識無限,量變中認識質變,前者的對應是偏靜態的,后者是偏動態的。而高中教材淡化了極限,從數形結合角度,結合曲線切割線斜率以及曲邊梯形面積的實際背景,描述了這種動態的對應,這種處理,能使我們更清楚導數與積分的原始作用,理解微積分基本定理,確定導數與定積分為互逆運算,從而簡化了麻煩的定義運算。從這個意義上講,導數、微積分的考查內容,還是以工具性為主。對定義的理解是熟練運用導數求單調性、極值、最值,以及利用積分求面積的前提。

三、實例分析

例 1 (1)若f'(x0)=2,求

分析:(1)導數定義。(2)合理運用逆向思維。由求導公式(xn)'=n xn-1,可聯想到它們是另外一個和式的導數。關鍵要抓住數列通項的形式結構。

例2 已知f(x)=a x3+b x2+c x(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1。

(1)試求常數a、b、c的值;

(2)試判斷x=±1時的值是函數的極小值還是極大值,并說明理由。

分析:利用一階導數求函數的極大值和極小值的方法是導數在研究函數性質方面的繼續,也是導數應用的關鍵知識點,通過對函數極值的判定,可加深對函數單調性與其導數關系的理解。考查函數f(x)是實數域上的可導函數,可先求導確定可能的極值,再通過極值點與導數的關系,建立由極值點x=±1所確定的相等關系式,運用待定系數法求值。

解:(1)f'(x)=3a x2+2b x+c,因為x=±1是函數f(x)的極值點,所以x=±1是方程f'(x)=0,即3a x2+2b x+c=0的兩根。

當x＜-1或x＞1時,f'(x)＞0;當-1＜x＜1時,f'(x)＜0。所以函數f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函數,在(-1,1)上是減函數。

所以當x=-1時,函數取得極大值f(-1)=1;當x=1時,函數取得極小值f(1)=-1。

小結:本題難點是在求導之后,不會應用f'(±1)=0的隱含條件,因而造成了解決問題的思維障礙。

例3 求下列各曲線圍成的平面區域的面積:

(2)y=x-2,x=y2。

分析:用定積分計算平面區域的面積,首先,確定已知曲線圍成的區域;其次,由區域

小結:(1)如果函數f(x)在點x=x0的一個δ區域:(x0-δ,x0+δ)內有定義,對任意的x∈(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)總有f(x)＜f(x0)(f(x)＞f(x0)),則稱f(x0)為函數f(x)的極大(小)值,x0稱為極大(小)值點。

(2)注意極值與最值的區別,極值是相對于領域而言,它僅是極值點附近的局部范圍內的相對大小,而最值是相對于閉區間而言,它是函數在給定的閉區間上的全部函數值中最大(小)的值。

(責任編輯 劉鐘華)