對一道導數取值范圍問題的探索

■甘肅省隴南市禮縣職業中等專業學校 楊 虎

對一道導數取值范圍問題的探索

■甘肅省隴南市禮縣職業中等專業學校 楊 虎

編者的話:“經典題突破方法”欄目里例、習題選名校模擬題或三年高考真題,推出本欄目的主要目的是讓同學們更好地領悟數學解題思想方法,通過多解多變培養同學們多思多想的好習慣。學會解題反思,無疑是同學們學習的一條捷徑,愿同學們不斷在反思中進步,在反思中收獲!

一、題目呈現及思路分析

(Ⅰ)若函數y=f(x)存在極大值和極小值,求a的取值范圍;

(Ⅱ)設m,n分別為f(x)的極大值和極小值,其中m=f(x1),n=f(x2),且x1∈,求m+n的取值范圍。分析:(Ⅰ)因為函數f(x)=a x2-2x+al nx(a∈R),所以要求函數y=f(x)的極大值和極小值,就要對函數進行求導,保證導函數對應的方程有兩個不相等的正實根,通過判別式大于零和根與系數的關系即可得到結論。(Ⅱ)根據極大值與極小值的含義得到兩個相應的方程,由兩個極值點的關系可以將其中一個消去,進一步可得關于極大值點的代數式,再通過基本不等式與導數求m+n的取值范圍。

二、多解探索

點評:本題考查了利用導數、基本不等式求極值及參數的范圍問題,在這類問題的解決中要善于把握函數與不等式的關系,導數為零與函數極值的關系,正確運用消元法解方程,以及對參數進行適當的分類討論,在本題中合理利用消元思想與基本不等式,以及利用導數求參數的取值范圍是順利求解的前提和關鍵。

三、變式探索

例2 (2 0 1 7年山西三區八校理科模擬試題)已知函數f x()=l nx+a x2+b x(其中a,b為常數且a≠0)在x=1處取得極值。

(Ⅰ)當a=1時,求f x()的單調區間;

(Ⅱ)若f x()在 0,e( ]上的最大值為1,求a的值。

點評:可以說極值是一個與導數緊密相連的概念,只要提到極值或極值點就會想到導數,本變式的關鍵是要注意極值與最值的區別,極值是一個局部的概念,而最值是一個整體的概念,在對函數求導得出極值后,把極值同端點處的值進行比較得到最大值,最后利用條件建立關于參數的方程求得結果。

例3 (2 0 1 7年馬鞍山理科二模試題)已知函數f (x)=l nx+

(Ⅰ)證明曲線f x()上任意一點處切線的斜率不小于2;

(Ⅱ)設k∈R,若g x()=f x()-2k x有兩個極值點x1,x2,且x1＜x2,證明:g x2()＜-2。

點評:本題考查了利用導數研究函數的單調性,亮點是把導數與不等式的證明結合,要想準確解答,首先要觀察不等式的特點,結合韋達定理進行化簡變形,進一步利用導數及函數的單調性證明結論。

解后感悟:本題是一道考查導數在研究函數性質中的應用的好題,其中滲透著分類討論、數形結合、轉化與化歸等思想方法,重在考查同學們結合所學知識分析問題、解決問題的能力。

(責任編輯 王福華)