《結構隨機振動》研究生課程教學的幾點思考

宋杰 鄒良浩

【摘要】《結構隨機振動》涉及的數學理論多，概念比較抽象，學生不易理解。本文通過三個方面的討論，即時域頻域分析的理解，數學公式物理意義的分析，和考核方式的探討，提出了一些增進學生理解的教學方法，以便提高該課程講授效率。

【關鍵詞】結構隨機振動 時域頻域分析 考核方式 課堂教學

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）42-0208-02

一、引言

《結構隨機振動》課程是結構工程、防災減災與防護工程，以及工程力學等多個土木工程相關專業的研究生主干課程[1-2]。土木工程領域內大部分結構，如高層建筑和橋梁等，在實際過程中會受到諸如地震、風、爆炸沖擊荷載都隨機性荷載的作用。這些結構的設計與結構隨機振動理論息息相關。因此，相關專業的研究生需要掌握好該課程的基礎理論，并能運用到科學研究和工程實際之中。但是，由于《結構隨機振動》課程涉及的數學理論多，如概率論與數理統計、復變函數，偏微分方程，而且概念比較抽象，一般性的講授學生不易理解。因此，本文擬討論《結構隨機振動》課程講授中的幾個典型問題，以提高該課程講授效果，增強學生對該門課程基礎知識的掌握和理解。

二、時域頻域分析的理解

時域分析和頻域分析是《結構隨機振動》兩個重要的概念和分析手段。時域分析比較直接易懂，概念比較清晰，學生易于理解，但是不能直接得到隨機過程在頻域內的信息。頻域分析比較抽象，學生不易理解，但頻域分析可以直接得到隨機過程在頻域上的能量分布。連接時域和頻域分析著名的帕薩伐爾公式，學生對其時域部分很好理解，但對于頻域部分理解起來有些困難。但是如果我們把時域和頻域分析同時描繪在圖1所示的圖中，將會大大便于學生的理解。如圖1所示，對于一個隨機時域信號，其為幾個正弦隨機信號的疊加，但是在時域內不能直接表現出來。我們將信號的傅里葉變換同時描繪在圖中，可以看到，對應每一個正弦子信號，頻域上都對應一個脈沖，那么總的能量就是這些脈沖幅值的疊加。這就跟時域內信號的能量的定義很相似，易于學生的理解。所以，對于時域和頻域分析以及其相互關系，可以多借助這樣多個維度的圖形來方便講授和學生理解。

圖1 隨機振動信號在時域和頻域內的表現[3]

三、數學公式物理意義的分析

《結構隨機振動》里面涉及大量的數學公式，其形式一般較為復雜，推導過程也較為冗長。但是應當指出，數學公式固然重要，但是應該跳出來抓住其本身的物理性質，講授其本質上的物理意義，這樣才能便于學生理解。對于此，作者以線性單自由度體系響應計算（式1）為例說明此過程。線性單自由度體系響應位移譜SX（ω）計算的表達式如式1所示：

SX（？棕）=H？棕■SF（？棕）

=■SF（？棕） （1）

如果教師只是花大量時間推導出這個式子，學生不但漸漸會失去興趣，最終也只能對這個式子死記硬背，對其沒有深刻的理解。但是，我們可以進行如下的討論[4]：

（a）當結構頻率ω0趨于0時，式（1）中H？棕■趨于1/（mω20）2= 1/k2，所以式（1）等價于X = F/k，即胡克定律。也就是說，當結構頻率很小（即低頻），即周期無限大時，結構振動主要由位移控住，即速度和加速度可以看做零，所以運動可以簡單用胡克定律來描述。

（b）當ω>>ω0時，即ω/ ω0>> 1， 式（1）中H？棕■趨于1/（mω2）2，這個時候響應加速度譜SX（？棕）=SF（？棕）/m2。所以這時式（1）等價于加速度a=F/m， 即牛頓第二定律。也就是說，當結構頻率較高時（即高頻），結構振動主要是慣性力控制，速度和位移都可看做零，運動可以近似由牛頓第二定律來描述。

（c）當ω≈ω0，且阻尼比ξ<< 1時，式（1）中H？棕■趨于1/（cω）2，即這個時候響應速度譜SX（？棕）=SF（？棕）/c2。可以看到，這時式（1）等價于速度v=F/c，即粘滯阻尼力的形式。也就是說，結構在中間頻率且阻尼較低時，控制結構振動的主要是阻尼確定。

所以通過以上的分析，我們發現式（1）中每一個參數都控制結構振動低頻，中頻或高頻的部分，都有其物理意義。這樣，通過以上的討論不僅容易記住式（1），對式（1）也有了比較深刻的認識，而且對結構振動的特點也有了進一步的理解。可以看到，雖然說本門課程數學公式繁多，但是通過講述公式背后的物理意義，對于提高學生的理解和記憶很有幫助。

四、考核方式的探討

國內研究生的課程大多采用課程報告的形式來進行考核。此方式對于概述形式的課程可以采用，但對于《結構隨機振動》這樣的課程，單純的報告考核方式不利于學生的學習，也很難了解到學生學習的情況。所以，筆者根據在香港科技大學學習期間的經歷，對該門課程的考核進行了全新的設計。首先，不同于大部分研究生課程沒有課外作業的情況，本課程調研國內外大部分課程的課件和上課內容，有針對性的選擇了具有代表性的習題來作為學生的課外作業。這些課外習題的設置，不是為了“考住”學生，而是讓學生在做這些習題的過程中，學會思考和運用，鞏固課堂上所學的知識。第二，除了課外作業之外，作者在這門課上還設計了很多需要學生自己上機編程內容。如前所述，本門課程涉及大量的數學公式，如果單純只是推導公式，學生即不容易掌握，也容易失去興趣。鑒于此，作者根據課程內容，設計了很多需要學生自己上機編程計算的課題。比如根據風速譜模擬風速時程的課題。學生通過這些實踐，即解決了實際的問題，對整個數學原理也有了更深層次的理解。此外，根據課程內容，選擇了一些與課程內容相關的前沿研究內容。學生結合課程內容，研讀這些前沿內容，并通過報告的形式，講述自己的所得。最后在期末考試環節，采用開卷考試的形式，不讓學生拘泥于公式的記憶，并允許學生攜帶可編程計算器或是電腦。這樣，即解放了學生繁冗的計算量，又可以增大考察的范圍。通過以上這四個方面，對學生的綜合素質進行全面的考察。

五、結論

針對《結構隨機振動》數學公式多，概念抽象的特點，本文對該課程中時域頻域分析的理解，數學公式物理意義的分析，和考核方式的探討等三個方面進行了討論。對著三個方面，根據教學實踐，提出了一些有代表性的能夠增進學生對課程的理解的方法和措施。總的來說，這些方法和措施對于提高《結構隨機振動》講授效率很有幫助。

參考文獻：

[1]陳英俊，結構隨機振動[M].北京：人民交通出版社，1993.

[2]歐進萍，王光遠.結構隨機振動[M].北京：中國社會科學出版社，1998.

[3]http：//uran.donntu.org/～masters/2008/eltf/naftulin/library/letter5.htm[EB].

[4]Loren D. Lutes，Shahram Sarkani，Random Vibrations： Analysis of Structuraland Mechanical Systems[M]，Elsevier Butterworth–Heinemann，2004.

作者簡介：

宋杰（1986.1-），男，漢族，湖南常德人，博士，講師，主要從事結構振動、結構風工程的研究。