例析如何再現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的“隱路徑”

魯仁偉

(江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225001)

例析如何再現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的“隱路徑”

魯仁偉

(江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇 揚(yáng)州 225001)

動(dòng)點(diǎn)隱路徑問(wèn)題是中考的難點(diǎn)之一，其路徑是‘隱形’的，需要再現(xiàn)它的軌跡，進(jìn)而才能有的放矢地求動(dòng)點(diǎn)路經(jīng)長(zhǎng).

動(dòng)點(diǎn)；路徑；數(shù)學(xué)思維

本學(xué)年，筆者執(zhí)教本校的初三畢業(yè)班，從而對(duì)各地方的壓軸題進(jìn)行了歸類分析.其中，引起筆者感興趣的就是壓軸題熱門題型之一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，尤其是求動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)的問(wèn)題更是常見(jiàn).與其它求“顯性”線段長(zhǎng)不同的是，動(dòng)點(diǎn)的路徑是“隱形”的，需要考生通過(guò)分析再現(xiàn)它的軌跡，進(jìn)而才能有的放矢地求動(dòng)點(diǎn)路經(jīng)長(zhǎng).

一、分類再現(xiàn)“隱路徑”

1.路徑線段型

例1 已知拋物線y=-0.25x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC,D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF，連結(jié)BF．若S△ABC=16,AC=BC，

(1)求拋物線的解析式；(2)判斷線段BF和AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向由點(diǎn)O移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)E也隨著運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E所走過(guò)路線長(zhǎng).

解(1)(2)解答略.

(3)分析：如圖2，先畫(huà)出E的起點(diǎn)在B處，再畫(huà)出E的終點(diǎn)在E′處，結(jié)合過(guò)程點(diǎn)，可以觀察出三點(diǎn)在同一條直線上，從而猜想點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段EE′ ,再利用題目的條件求出所求線段長(zhǎng)度即可．

點(diǎn)評(píng)本題第3問(wèn)重點(diǎn)是通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的起始點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終止點(diǎn)，將其隱路徑顯現(xiàn)出來(lái)，觀察出是一條線段，再結(jié)合正方形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，求出該線段的長(zhǎng)度，從而解決動(dòng)點(diǎn)的路徑問(wèn)題，該題綜合性強(qiáng)，有效地考查出學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和其思維能力.

2.路徑圓弧形

例2 已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn)，P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外),直線PM交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示)；

(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí),求m的值；

(3)設(shè)過(guò)P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)O作直線ME的垂線,垂足為H(如圖2),當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

解(1)(2)解答略.

(3)分析:①分析起點(diǎn)：當(dāng)點(diǎn)P與原點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)P才開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，利用拋物線求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)M坐標(biāo)，得出∠OEH=∠HOE=45°，∠COH=45°.所以依據(jù)正方形的性質(zhì)得到，此時(shí)點(diǎn)O、H、B三點(diǎn)共線，這就是動(dòng)點(diǎn)H的起點(diǎn).②分析終點(diǎn)：當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E橫坐標(biāo)接近于無(wú)窮，此時(shí)點(diǎn)H幾乎與點(diǎn)C重合，這是動(dòng)點(diǎn)H的終點(diǎn).③當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，而OH的長(zhǎng)度也發(fā)生變化，但OH⊥ME,從而∠OHM=90°.根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，故H在以O(shè)M為直徑的圓上，故其所經(jīng)過(guò)的路徑是圓弧.

思路：因?yàn)镻(0，m)是線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)C除外，所以m大于等于0小于2 .

點(diǎn)評(píng)該題的動(dòng)點(diǎn)路徑的分析是難于例1的線段型的，主要原因是圖形復(fù)雜于例1，但是若抓住路徑問(wèn)題的本質(zhì)，找出起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)路徑是圓弧型，結(jié)合圓的知識(shí)和題目條件確定圓弧半徑和圓心.

二、再現(xiàn)“隱路徑”的方法與總結(jié)

關(guān)于動(dòng)點(diǎn)路徑問(wèn)題，各地方中考題目中，該問(wèn)題是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，也是常考問(wèn)題.教師在中考復(fù)習(xí)時(shí)，要總結(jié)出該類問(wèn)題的方法，讓學(xué)生有方向的思考.在初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)軌跡的問(wèn)題中，一般有兩種情況：線段或圓弧．解決此問(wèn)題的策略，化動(dòng)為靜，由特殊情形過(guò)渡到一般情形，要抓住動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間即過(guò)程點(diǎn)，將這些點(diǎn)鎖定在某一位置上，通過(guò)起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終點(diǎn)三點(diǎn)確定，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來(lái)了，從而判斷出其“隱路徑”，然后再求其路徑的具體值．

具體步驟一般可以分五步：一標(biāo)，標(biāo)出動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)和終點(diǎn)；二察，觀察三點(diǎn)是否在一條直線上；三定，在一條直線上軌跡就是線段，不在一條直線上軌跡就是圓??；四算，線段型常用勾股定理、垂直平分線和全等相似等知識(shí)解決，圓弧型常利用圓、角和三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)確定圓心和半徑來(lái)解決問(wèn)題．

因此在動(dòng)點(diǎn)路徑類問(wèn)題的教學(xué)中，教師要讓學(xué)生有自主探究問(wèn)題的過(guò)程，留有余地讓學(xué)生有思有想，體會(huì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是從幾個(gè)特殊點(diǎn)入手，通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證、證明的過(guò)程，探究出該類問(wèn)題的本質(zhì)，從中積累經(jīng)驗(yàn)，從而真正地達(dá)到“授之以漁”的目的.

[1]華風(fēng).中考?jí)狠S題的命題走向“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)：教育理論,2011(11).

[2]張健華.例析“動(dòng)點(diǎn)的路經(jīng)長(zhǎng)”中考?jí)狠S題解題策略看[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2013(16):87-90.

[責(zé)任編輯：李克柏]

G632

A

1008-0333(2017)29-0002-02

2017-07-01

魯仁偉(1988.10-)，男，安徽人,碩士，中學(xué)二級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)動(dòng)力系統(tǒng).