半函數部分線性模型的經驗似然推斷

胡玉萍， 薛留根， 馮三營

(1.北京工業大學 應用數理學院 北京 100024； 2.鄭州大學 數學與統計學院 河南 鄭州 450001)

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2016356

半函數部分線性模型的經驗似然推斷

胡玉萍1，2， 薛留根1， 馮三營2

(1.北京工業大學 應用數理學院 北京 100024； 2.鄭州大學 數學與統計學院 河南 鄭州 450001)

半函數部分線性模型； 經驗似然; 函數型數據; 置信域

DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2016356

0 引言

對函數型數據的分析和處理是統計學的一個熱門問題,被廣泛應用到計量經濟學、生物醫學、心理學及其他領域.考慮半函數部分線性模型

其中：Y是實值響應變量；X是取值于Rp上的隨機向量；m(·)是未知的光滑實函數；T是取值于抽象無窮維空間H上的函數型協變量；|是隨機誤差,期望為零,方差有限,且與X和T是獨立的.

文獻[1]引入了函數線性模型,文獻[2-3]利用函數主成分分析法研究了函數型線性回歸模型的估計及預測問題.為了更好地擬合數據,一些學者開始研究函數型數據半參數模型.文獻[4] 提出了半函數部分線性模型(SFPLM),利用函數核光滑方法并結合最小二乘法給出了參數分量和非參數分量的估計,得到了參數分量的漸近正態性和非參數分量的收斂速度.文獻[5]進一步將SFPLM推廣應用于時間序列預測問題.文獻[6]基于懲罰函數對SFPLM的高維線性回歸部分進行了變量選擇,得到變量選擇的oracle性質及非參數分量的非參收斂速度.文獻[7]利用主成分基函數展開及最小二乘法研究了部分函數線性模型的均方預測誤差的收斂速度.文獻[8]考慮了縱向函數型數據變系數模型,給出了模型中系數函數和歷史指標函數的估計,證明了它們的漸近性質.文獻[9]研究了縱向函數型數據單指標模型,將經典單指標模型的最小平均方差估計(MAVE)方法推廣到函數型數據情形.文獻[10]研究了部分函數變系數模型,利用主成分基函數展開及局部光滑法得到了系數函數的估計.

1 估計方法

其中|i是相互獨立的模型誤差,且E(|i|Xi,Ti)=0,Var(|i|Xi,Ti)=σ2lt;∞,i=1,2,…,n.Ti∈H1,H1是H的緊子集.X=(X1,…,Xn)T,Xi=(Xi1,…,Xip)T,Y=(Y1,…,Yn)T.

Yi-E(Yi|Ti)=[Xi-E(Xi|Ti)]Tβ+|i.

其中λ為Lagrange乘子,滿足

2 主要結果

為敘述方便,始終假設c表示一不依賴于n的正的常數,c每次出現可以取不同的值.引入記號:

B(t,h)={t′∈H:d(t,t′)≤h},qij=Xij-E(Xij|Ti),qi=(qi1,…,qip)T，

(C1)K滿足Lipschitz條件，支撐為[0,1]，并且?c滿足?u∈[0,1],-K′(u)gt;cgt;0.

(C2) 存在一個(0，∞)上的正值函數φ和正值c0、c1、c2使得

(C3) 存在常數cgt;0，αgt;0，?f∈{m，g1,…,gp}, 都有|f(u)-f(v)|≤cdα(u,v).

3 定理證明

令Sn1j表示Sn1的第j個分量,則有

a.s.=

由式(5)～(7)可知Sn1j=Op(n1/2).

令Sn2j表示Sn2的第j個分量,類似可證Sn2j=Op(n1/2)，則，

Anij表示Ani的第j個分量,則有

證明利用引理1的證明方法及文獻[11]可證得上式.

定理1的證明由式(4)可得

由引理1～3可以證得

由引理1及2可證明定理1.

定理3的證明計算可得

由文獻[4]中定理2可得本定理證明.

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(責任編輯：方惠敏)

EmpiricalLikelihoodInferenceforSemi-functionalPartialLinearModel

HU Yuping1,2， XUE Liugen1， FENG Sanying2

(1.CollegeofAppliedSciences,BeijingUniversityofTechnology,Beijing100024,China； 2.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

The estimation for semi-functional partial linear model was considered. The empirical likelihood method was developed to make inference for parameter of interest. The empirical likelihood ratio for the parameter was constructed, and it was asymptotically standard chi-square distribution. Therefore, the corresponding confidence region of the parameter was constructed. At the same time, the estimator of the nonparametric function was given, and the theoretical property of the convergence rate was studied under certain regular conditions.

semi-functional partial linear model; empirical likelihood; functional data; confidence region

2016-12-29

國家自然科學基金項目(11501522,11571025,11331011)；北京市自然科學基金項目(1142003,L140003)；鄭州大學青年啟動基金項目(1512315004)；鄭州大學優秀青年基金項目 (32210452).

胡玉萍(1971—), 女, 河南開封人，副教授，主要從事非參數統計研究，E-mail:hyp@zzu.edu.cn.

O212.7

A

1671-6841(2017)04-0005-06