數學歸納法證題步驟及簡單技巧

李歡

摘 要 歸納法是人們在日常生活中使用的由特殊到一般的推理方法。 由這種方法所導出的結論不一定是正確的， 但我們往往不會因為有這一缺陷而放棄對它的使用。 相反， 當我們得出了一個錯誤的結論時也并不為之感到震驚。

關鍵詞 數學歸納法 證題步驟 技巧

中圖分類號：O122.7 文獻標識碼：A

在純數學當中，若干特殊的數字對于無限的集合N或Z來說，意義并不十分重大，盡管使用歸納法可得到正確的結論，但它并不是被證明了的結論，而僅僅是證明時可以依據的一個事實或規律。所以，我們要借助更為高明的方法—數學歸納法來證明。

數學歸納法的原理的形式有很多種，在此我們只給出與中學數學內容有關的形式及其變形，并揭示它的邏輯結構。

形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若① P（1）成立；② n∈N， ，若P（n）成立 →P（n+1）成立，則P（n）對 n∈N都成立。

變形：設P（n）為自然數n的命題，若① 若P（n0）成立（n0∈N）； ② n∈N， n≥n0，若P（n）成立→P（n+1）成立。則P（n）對 n∈N， n≥n0都成立。

根據數學歸納法原理的形式，我們在證明有關的自然數命題時可相應地按照以下兩個步驟來進行：

①驗證P（1）是成立（奠基步驟）；

②假設P（n）成立，導出P（n+1）也成立（歸納步驟）。

1數學歸納法的證題步驟

數學歸納法是數學證明的重要工具，常用于證明與自然數有關的數學命題。 不管是第一數學歸納法還是第二數學歸法，它們都有規范的兩個步驟。有人稱之為歸納奠基和制造遞推工具。

（1）歸納奠基（“1”對）：歸納奠基就是對n的初始值驗證命題的正確性。數學教科書上的說法是：驗證n取第一個值時命題正確。但在有的情況下，僅驗證一個初始值是不夠的。為此，我們來看一個悖論的悖證。

悖論：任何n條線段一樣長。

悖證：（1）n= 1時，命題為 “任何一條線段一樣長”，這顯然是正確的。

（2）假設n=k時命題正確，即 “任何k條線段一樣長”，則n=k+ 1時，記k+1條線段為1，2，…，k，k+1，由假設1，2，…，k一樣長， 2，…，k，k+1一樣長，它們都和2一樣長，所以這K + 1條線段一樣長。根據歸納原理，命題獲證。

這個結果顯然是荒謬的。其原因是1，2，…，k和 2，…，k，k+1之間不一定有一個公共的i（看一下K= 1的情況）。

由上可見，在使用數學歸納法時，除了要注意第二步即遞推過程外，更要注意第一步即 “奠基”步，要根據第二步的要求正確 “奠基”，否則將會因 “基石”不穩而的出錯誤的結論。

（3）制造遞推工具（ “k對” “k+ 1對”）。

歸納假設之后，把“k對”作為已知條件去推證“k+ 1對”，實際上是從理論上論證遞推的有效性（制造使遞推得以進行的工具）。這與普通的數學證明已無大的區別。故形式上可以以多種多樣（綜合法， 分析法 ，反證法等），而論證時要求邏輯嚴謹（運用演繹推理），并正確使用歸納假設。

2數學歸納法的證題技巧

2.1起點的偏移（前移或后移）

證某些對任意自然數都成立的數學命題時，可以把歸納奠基從n=1前移到n= 0 ， 這是為了簡化第一步。如證明+cos +cos2 +…–cosn =時，就n = 0驗證，比起就 n= 1去驗證=要容易得多。又如證明能被13整除時，若把起點從 n= 1前移到n =0， 立即可知此時結論成立。

起點的后移往往為了降低第二步的難度。這樣做雖有時加大了第一步的難度，卻為第二步的證明探索了路徑。例如證明 ， 如果把起點從 n= 1后移到 n= 2，證得=， 就為證明第二步探索了路徑（當然要補證n=1時命題成立）。

2.2大幅度跳躍

跳躍在數學歸納法中是經常出現的。例如證n是正奇數時an+bn能被a+b整除， 證F數列中F4n能被3整除，都有跳躍。又如證一正方形都可分成n （n≥6 ）個正方形，可以先驗證n= 6 ，7 ，8時命題正確， 再證 “K對 K+ 3對”。其（下轉第211頁）（上接第171頁） 第一步如圖；在第二步，只需在K對的基礎上將其中某一正方形分為4個正方形既可。

可見，歸納法是一種推理方法，是重要的發現手段，它的結構是似真的，而數學歸納法則是一種演繹的方法，它的結論是真實的，兩者屬于不同的邏輯范疇，不能混為一談。由歸納法而形成的，以假設的形式敘述出來的命題，我們往往用演繹法來 “證明”，數學歸納法也不是完全歸納法，但它與完全歸納有一定的聯系，它的中心思想是：用有限的驗證和一次邏輯推理，代替無限次的驗證過程，實現從無限到有限的轉化。

參考文獻

[1] 韓景志.漫談數學歸納法[J].數學通報，1997（07）：8-10.

[2] 孫宗明，梁鳳鳴.命題邏輯與數學證明方法（Ⅱ）[J].泰山學院學報，2013，35（06）：4-10.endprint