注重知識銜接，深入專題研討

王琪

[摘 要] 近幾年的高考數學中，以直線與圓的位置關系為載體的考題出現頻次很高，該內容既包含了圓的相關性質，也結合了解析幾何的分析方法，如何使學生學好直線與圓位置關系的性質與判定，為教師提出了更高要求. 筆者根據教學經驗，結合學情制定了相關的教學設計，以供教學參考.

[關鍵詞] 直線與圓；位置；整體性；教材

“直線與圓的位置關系”是高中重要的內容，不僅可以解決直線與圓的相關題目還是研究解析幾何問題的基礎. 該內容建立在初中相關知識的基礎之上，開展教學要注意對初中知識的回顧和延伸，結合典型例題開展拓展延伸，充分挖掘學生潛能，發展數學思維.

教學流程

1. 情境創設，開課引入

預設意圖：通過實際問題引入直線與圓的位置關系，可以激發學生的學習興趣，同時說明研究直線與圓的位置關系具有現實意義，提高學生的重視程度.

2. 重溫舊知，學習預熱

預設問題1：在初中平面幾何中，直線與圓存在哪幾種位置關系？

預設問題2：在初中階段是如何判斷直線與圓的位置關系的？

預設意圖：學生非常熟悉初中的知識，通過回顧初中的舊知讓學生充滿自信，用熟悉的方法解決高中的知識，完滿結合數形，使課堂教學順利開展.

3. 問題提出，自主探究

問題：已知直線l：4x+3y=40和圓心在C的圓x2+y2=100，試判斷直線l與圓的位置關系. 若相交，求交點坐標.

設問：判斷直線與圓的位置關系有哪些方法？類比初中的知識，歸納總結解題思路.

總結：有兩種方法，幾何法：首先確定圓心坐標和半徑r，然后計算圓心到直線的距離d，通過比較r與d的大小關系，確定它們的位置關系；代數法：求解直線與圓的交點個數，將直線方程帶入圓的方程中可得一元二次方程，分析Δ的大小，Δ>0，即有兩解可得兩個交點，則直線與圓相交；Δ=0，有一個交點，則直線與圓相切；Δ<0，直線與圓沒有交點，則相離.

設計意圖：以漸進式問題引導學生探究學習，讓學生參與到討論中，這樣的設計充分體現了知識形成發展的過程，使學生自己構建判斷直線與圓位置關系的方法，對比學習后加深理解，為學生以后的自主學習打下基礎.

4. 典例講評，拓展變式

例題：現已知△ABC的三個頂點分別為A（-1，0），B（1，0），C（3，2），它的外接圓為⊙H.

（1）如果直線l經過了點C，且被⊙H截得的弦長為2，求l的具體方程；

（2）在線段BH上有任意一點P，如果以C為圓心的圓上存在不同的兩點M，N，使得點M位于線段PN的中點，求⊙C半徑r的取值范圍.

（2）如圖2所示，點P位于線段BH上，設P（m，3-3m）（0≤m≤1），經過點C作CE⊥MN，垂足為E，則E就為MN的中點，又因M就為PN的中點，則有PE=3EN. 假設CE=d（0≤d

設計意圖：教學不能局限于知識講授，學以致用是最終目的，因此開展典例講評是十分必要的，充分挖掘例題中的精髓，可以有效地加深學生對知識的理解，通過讓學生在問題中思考，可以極大地提升學習效率.

5. 變式拓展，高考銜接

（2014年江蘇高考卷）如圖3所示，為保護河上的一座古橋，規劃建設一座新橋BC，同時設置了一個圓形的保護區，要求為：新橋BC要與河岸AB相垂直；現已知保護區的邊界是圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，古橋兩端O和A到圓上任意一點的距離都不少于80 m，經過測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位

（1）求新橋BC的長度；

（2）當OM為多少時，圓形保護區的面積達到最大？

教學立意的深入探究

1. 抓住中學標準，透析數學教材

用幾何的代數方法研究幾何的本質性質，充分體現了數形結合的數學思想，高中數學教學標準中要求教師要將幾何問題轉換為代數問題，用數形結合的思想解決問題.教材是實現教學目標、實施教學的重要依托，因此需要教師充分研讀教材，掌握教材的編寫體系以及知識結構，合理地編寫教學設計.本課題依托教材開展典例講評與合作探究，把握適度原則，實現了知識的自然過渡，層層遞進，環環相扣，有著良好的教學效果.

2. 開展探究教學，促進思維發展

現代中學的教學理念要求課堂教學要注重探究過程，充分使學生參與到教學活動中，因此教師要充分把握學情，利用教學資源對學生進行指導性教育. 知識的講授是建立在學生的認知結構上的，要將更多的時間交給學生，充分使學生在探究思考、活動交流中展現自我，養成自我發現、發展、獲取、感悟的思維習慣，開發學生的學習潛能.本課的開展利用了學生的舊知，從已有知識進行延伸，符合學生的認知過程，以問題的形式激發學生的學習興趣，討論交流中促進思維發展，推進教學進程，將自主學習與合作交流巧妙地融合在一起，實現了教學效率的最大化.

3. 注重知識銜接，把握數學整體性

中學學習的過程是在原有知識基礎上的延伸，高中的知識點很多，包括函數、幾何、方程等，但這些知識的學習都是建立在初中數學的基礎上. 學生的認知能力是有限的，因此教學在課堂開展之前必須充分熟悉初中教材，沿用擴展初中知識的教法，做好知識點的銜接過渡.數學是整體性的，整體性既體現在內容上也反映在數學思想上，只有把握數學整體性，才能制定合理的教學目標，把握知識的來龍去脈，學習數學的知識本質，本課探究直線與圓的位置關系，正是對知識銜接與數學整體性的詮釋.

結束語

直線與圓的問題看似簡單，卻包含著眾多經典問題，教師在教學中要充分研讀教材，把握學情，在學生原有知識體系上開展教學拓展，同時要優選例題，結合典型例題開展教學討論，通過合作交流的方式使學生獲得知識和能力的提升.