選準參量 以“動”致“定”*
——評2017年北京市數學高考文科試題第19題

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(中國人民大學附屬中學分校,北京 海淀 100086)

選準參量以“動”致“定”*
——評2017年北京市數學高考文科試題第19題

●唐庚

(中國人民大學附屬中學分校,北京 海淀 100086)

圓錐曲線是由運動的點形成的，解析幾何就是用代數的方法研究幾何問題． 高考試題一般都有“背景復雜、內容豐富、方法靈活、運算量大”的特點． 文章就一類定值問題提供常見思路與解決方案．

定值; 參量; 轉化

解析幾何問題因其內容豐富——既包含對幾何圖形的認識和幾何量的處理，又有較復雜的代數運算，并且切入點多種多樣，與函數、向量、三角函數等有交叉.無論是圖形的處理還是代數關系的轉化，路徑與方法都很靈活，因此解析幾何一直是高中數學學習、備考中的重點與難點之一.高考試題一般以常規圖形(如線段的垂直平分線、三角形、菱形等)、常規量(長度、面積、角度等)為背景，突破慣性思維，創新設計，倡導學生多觀察、多嘗試，并運用其內在規律，優化和精確運算.下面結合2017年北京市數學高考文科試題第19題對一類定值問題進行分析與探討.

1 試題呈現

圖1

1)求橢圓C的方程.

2)D為x軸上一點，過點D作x軸的垂線交橢圓C于兩個不同的點M，N，過點D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5．

分析1)設橢圓的方程為

由題意得

2)證明兩個三角形面積之比為4∶5，顯然是一個定值問題.“定”對應的是“動”，運動中的定值問題本質是尋求運動變化過程中的不變性.本題中運動的始作俑者是“過點D作x軸的垂線”，我們將引入什么樣的參量刻畫這條運動的直線呢，一個還是多個？又如何用所設的參量建立已知量與所求量之間的關系(即面積之比該如何表達)？參量的變化如何一步步影響所求量？最終結果是一個定值說明面積之比，表達式的某個系數或者整體結構應當滿足一定的條件，這個條件是什么？如果是多個變量，那么它們之間又有怎樣的聯系？能否順利轉化、消減？這是我們要面對的一系列問題.

2 解法探究

筆者認為解決本題中這些問題主要有以下兩種方法.

方法1縱觀整個問題，所有的變化皆因x軸上的點D的運動而產生，而點D的運動，改變的僅僅是其橫坐標.因此,可設D(m,0)，M(m,n),并以m,n為參量，依次表示已知條件以及所求面積之比的表達式，再觀察，伺機化簡.

解法1設D(m,0),依題意知m≠±2，并設M(m,n),N(m,-n),其中n≠0,則直線AM的斜率為

于是直線DE的斜率為

進而直線DE的方程為

又因為直線BN的方程為

聯立

解得點E的縱坐標為

由點M在橢圓C上，知

即

4-m2=4n2,

從而

又

故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

方法2如果我們適當調整變化的先后順序，將問題轉化為：“從左頂點A引直線AM交橢圓于M，過點M作x軸的垂線，交x軸于點D，交橢圓于另一點N,……”，則視角會發生變化.

解法2設直線AM的斜率為k，顯然k≠0，則直線AM的方程為

y=k(x+2).

設點M(x1,y1),聯立方程組

消去y,可得

(4k2+1)x2+16k2x+16k2-4=0,

顯然Δ=256k4-4(4k2+1)(16k2-4)=16>0,

從而

于是直線BN的斜率為

聯立直線DE與BN的方程，得

即

兩式相減，可得交點E的縱坐標為

故△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.

通過以上兩種方法的分析可以看出，解決這類定值問題：第一步是引入恰當的參變量(通常有點的坐標、直線的斜率、截距、夾角等)；第二步是將幾何條件代數化，用參量來表示已知或所求，建立參量與其他量之間等量或不等量的關系式；第三步是化簡，利用推理、運算、代數恒等變形等方式進行整理化簡，最終消去參量，獲得定值.

解析幾何把數學的兩個基本對象——形和數有機地聯系起來，這使得坐標法的作用更加明顯，對于人們發現新結論也具有重大意義．除了將“形”翻譯為“數”和將“數”翻譯為“形”這兩個環節外，還有一個關鍵環節就是代數運算，有時候計算確實繁瑣，但是，科研無坦途.北京版《考試說明》對學生的個性品質要求有如此表述：“考生要以平和的心態參加考試，合理支配考試時間，以實事求是的科學態度解答試題，樹立戰勝困難的信心，體現鍥而不舍的精神.”[1]可見具有復雜背景與運算的問題，擔負著鍛煉、提高學生的意志品質的教育功能.

過去很長一段時間，我們一直在考查“直線與圓錐曲線的位置關系”，以及由此產生的幾何元素代數化處理，有的問題解決被程序化、模式化.部分學生一味機械模仿、套用,并沒有理解到解析幾何是用來刻畫運動的點這一本質屬性.直線與圓錐曲線相交，研究的是它們產生的這兩個交點的相關性質，顯然有一定的局限性,既不如一個點在曲線上運動更能體現曲線的定義特征，也不如多點在曲線上自由運動能夠帶來更加豐富多彩的變化.這幾年的高考試題，正逐漸遠離傳統的以聯立為主的命題思路，轉而考查一點或者多點在曲線上運動.從這點上說，方法1無疑是我們所倡導的.

[1] 北京教育考試院.2017年普通高等學校招生全國統一考試北京卷考試說明理科[M].北京：開明出版社,2016.

2017-08-01

唐 庚(1971-),男，北京海淀人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O123． 1

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