誤差思想在數學高考中的應用*

●關麗娜 ●鐘德光 ●鄭偉庭

( 深圳大學數學與統計學院，廣東深圳518060) ( 廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006) ( 平山第三中學，廣東惠東516300)

誤差思想在數學高考中的應用*

●關麗娜 ●鐘德光 ●鄭偉庭

( 深圳大學數學與統計學院，廣東深圳518060) ( 廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006) ( 平山第三中學，廣東惠東516300)

文章從簡單的二階矩陣不滿足乘法交換律的例子入手，說明構造“誤差”矩陣的原因，再由這種誤差思想引入偏右( 偏左) 對稱函數、偏右( 偏左) 等比數列等定義． 接著，探索了這些定義的一些簡單性質，并利用這些性質解決了一些數學高考壓軸題．

誤差思想; 嚴格偏右( 偏左) 對稱函數; 正項偏右( 偏左) 等比數列

先從一個關于矩陣的簡單例子講起.關于矩陣的簡單的初步認識可參見高中《數學(選修4-2)》.考察二階矩陣

我們說兩個矩陣A,B相等指的是

a11=b11,a12=b12,a21=b21,a22=b22.

對于矩陣A，B,經典的減法運算定義如下：

經典的乘法運算定義如下：

對實數乘法運算，我們都知道它是滿足交換律的.但是對于矩陣的乘法運算，它一般是不滿足交換律的，即并非所有矩陣都滿足A·B=B·A，如：

則

顯然,A·B≠B·A.既然并非所有矩陣都滿足交換律，那么可以構造一個如下的矩陣C，

C=A·B-B·A.

為什么要引入矩陣C呢？因為并不是所有矩陣A,B都滿足交換律，所以考慮它們偏離滿足交換律的程度，也就是引入了一個“誤差”矩陣C.顯然當C為零矩陣時，A,B就滿足乘法交換律了.千萬別小看這種誤差思想，流行理論中著名的普阿松括號積[1]就是這樣構造的.普阿松括號積在流形上的微積分中具有重要的作用，許多重要概念與它有直接聯系，比如局部1參數群.因此構造普阿松括號積的思想(即誤差思想)也深受高考命題者的關注.另外，因為不等式是高中數學的重要內容之一，而誤差思想又涉及不等式，所以它自然而然深受命題者的青睞.

其實誤差思想在高中數學中有很多應用，如以下命題：

命題1設函數f在實數R上有定義，且設A為一個給定的實數.設f在(-∞,A)上單調遞減，在[A,+∞)上單調遞增，且對于所有的x∈R，有f(x)=f(2A-x).若x1,x2為方程f(x)=c(其中f(A)>c)的兩個零點，則x1+x2=2A.

顯然并不是所有定義在實數R上的函數f都是對稱函數，這很容易舉出例子來.但是受誤差思想的啟發，我們可以構造一個關于函數f的誤差函數Ff：

Ff(x)=f(x)-f(2A-x).

顯然，當對所有的x∈R，若Ff(x)=0，則f就是對稱函數了.可見函數Ff是對稱函數f的推廣.雖然并非所有定義在實數R上的函數f都是對稱函數，但是慶幸的是，當Ff與f滿足一定條件時，f具有類似于命題1的性質：

命題2設函數f在實數R上有定義，且設A是一個給定的實數.設f在(-∞,A)上單調遞減，在[A,+∞)上單調遞增，且對于所有x∈R，Ff在(A,+∞)上為正函數.若x1,x2為方程f(x)=c(其中c>f(A))的兩個零點，則x1+x2<2A.

證明不妨設x10，所以Ff(x2)>0，即

f(x2)-f(2A-x2)>0.

又因為f(x2)=f(x1)=c,所以

f(x1)-f(2A-x2)>0，

即

f(x1)>f(2A-x2).

由于f在(-∞,A)上單調遞減，且x1

在上述討論中，若當x∈(A,+∞)時，Ff(x)≥0恒成立，則稱函數f為偏右對稱函數；同樣地，我們也可以引入偏左對稱函數，只要求Ff在(-∞,A)內恒為非負即可.若當x∈(A,+∞)時，Ff(x)>0恒成立，則稱函數f為嚴格偏右對稱函數；若當x∈(-∞,A)時，Ff(x)>0恒成立，則稱函數f為嚴格偏左對稱函數.關于高考對嚴格偏右對稱函數的考查，如2016年全國數學高考卷Ⅰ的函數壓軸題.

例1已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

1)求a的取值范圍；

2)設x1,x2是函數f的兩個零點，證明：x1+x2<2.

分析1)a的取值范圍為(0,+∞)，解答過程略.

2)從求證的結果來看，結合命題2，可知f應該是嚴格偏右對稱函數，且A=1.容易證明當a>0時，f在(-∞,1)上單調遞減，在[1,+∞)上單調遞增.因此，只需要考慮f的誤差函數Ff(x)=f(x)-f(2-x)在(1,+∞)上恒大于0即可.因為Ff(x)=(x-2)ex+xe2-x，所以

又因為函數ex-e2-x在(1,+∞)上單調遞增，所以

ex-e2-x>0.

因此，當x∈(1,+∞)時，Ff(x)>0，即Ff在(1,+∞)上單調遞增，故

Ff(x)>Ff(1)=0.

顯然若對于所有的n∈N*，Fan(n)≡0，則{an}是公比為q的等比數列.由此可見，Fan(n)是等比數列{an}的推廣.類比于偏右(偏左)對稱函數，可以引入偏右(偏左)等比數列的定義：若對于所有的n∈N*，Fan(n)≥0(≤0)，則稱數列{an}為偏右(偏左)等比數列；若對于所有的n∈N*，Fan(n)>0(<0)，則稱數列{an}為嚴格偏右(偏左)等比數列.等比數列的通項公式可以表示出來，對于偏右等比數列，我們亦有以下類似結論：

命題3設正項數列{an}滿足：對于所有的n∈N*，Fan(n)≥0，且q>0,q≠1,則

an≥a1·qn-1.

證明過程比較簡單，此處略去.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數學高考理科試題第20題)

此題的本質是偏右等比數列.在此我們只討論第1)小題.

證明若|a1|≤2，則結論顯然成立，因此不妨設|a1|>2.以下證明對于所有的n∈N*，|an|>2.這是因為由絕對值不等式可得

即

|an+1|≥2|an|-2.

于是由數學歸納法容易得出對于所有的n∈N*，|an|>2.

另外，因為|an+1|≥2|an|-2，所以

|an+1|-2≥2(|an|-2).

由于對于所有的n∈N*，|an|-2>0，從而數列{|an|-2}為正項偏右等比數列，且q=2.由命題3可得

|an|-2≥2n-1(|a1|-2),

故

|an|≥2n-1(|a1|-2).

例3已知數列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*).證明：當n∈N*時，

1) 0

(2017年浙江省數學高考試題第22題)

我們只討論第3)小題.

證明對于所有的x>-1，ln(1+x)≤x.由第1)小題可知，對于所有的n∈N*，有xn>0，從而

xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1.

另外，由第2)小題可得

由第1)小題可得對于所有的n∈N*，xn

即

亦即

由上面的討論可以看出，誤差思想在高中數學的應用主要是對一些涉及到等號的數學定義引入相應的誤差即可.比如等差數列可以引入偏右(偏左)等差數列；奇函數可以引入偏右(偏左)奇函數；周期函數可以引入偏右(偏左)周期函數等等.這就可以產生很多的不等式，從而為命題者提供豐富的命題材料.

誤差思想不但在現代基礎數學中有重要的應用，而且能夠提供豐富的不等式.此外，引入函數f的誤差函數Ff也是函數f的某種性質的推廣.從2016年和2017年的浙江省數學高考理科數列壓軸題來看，它們都考查了誤差思想.這一方面說明了命題者對誤差思想的重視；另一方面，以誤差思想命題，不但能與現代數學知識聯系起來，而且又不超出高中數學的考試大綱，這不得不感嘆命題者的水平之高?。?/p>

[1] 陳維桓.流行上的微積分[M].北京：高等教育出版社，2003.

2017-07-13

關麗娜(1992-)，女，廣東陽江人，碩士研究生.研究方向：數學教育.

O1

A

1003 - 6407(2017)11-32-03