對三角形“四心”向量表示的思考*

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(蕭山中學,浙江 杭州 311200)

對三角形“四心”向量表示的思考*

●金燦芳

(蕭山中學,浙江 杭州 311200)

三角形中重心、內心、外心、垂心的向量表示是高考復習的熱點內容之一，值得我們關注． 文章通過向量加法的平行四邊形法則以及正弦定理，總結了解決此類問題的通法，并揭示了解決數學問題要淡化技巧，注重本質．

向量; 正弦定理; 心; 本質

在日常生活中，一條大路的盡頭會有很多分岔，有各自的風景.而數學中，幾個看似獨立的題目，其本質可能是一樣的，可以從同一個角度去解釋.

1 問題展現，解決問題

( )

A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心

高一學生拿到該題，大多毫無頭緒，困難很大.學生樂于見到另一種形式的題，見變式1和變式2.

下面我們來解決例1：先排除重心和內心，將已知式變形為

圖1

2 探究問題,挖掘聯系

已經有了3個“心”的表達方式，那么垂心是否有類似的表達呢？

例2的答案正是垂心.下面探討的是兩個例題和兩個變式之間的聯系，是否有統一解法？

如圖2，過點A作直線與AP所在的直線垂直，在AB,AC上分別取點E,F，使得

圖2 圖3

兩個變式也可以從以下角度解釋:在變式2中，

在變式1中，

圖4

于是 |AB|sinα=|AC|sinβ，

進一步可得

|AB|·|AP|sinα=|AC|·|AP|sinβ,

即

S△ABP=S△ACP,

因此點P在BC的中線上，AP過△ABC的重心.

上述通法對變式1來說有點繁瑣.下面看例2：

即

以上均是以AP為對角線構造平行四邊形，通過正弦定理得到關于α,β的等式，從而確定AP過什么心，至此三角形的4個“心”的向量表達式得到了完美的統一.

圖5

3 運用通法，巧妙解題

解由題意得

如圖5，作出相應的平行四邊形，在△AEO和△ABC中利用正弦定理，得

因為點O為△ABC外接圓的圓心(設⊙O的半徑R),所以

故

m=sinθ.

本題利用三角形的外心，構造相應的平行四邊形性質，通過正弦定理聯系各個變量，順利解決問題.

4 深入本質，詮釋巧合

我們再來看兩道浙江省數學高考試題：

例4已知平面向量α,β(其中α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是______.

這兩道題咋一看沒什么聯系，其實題干條件都是向量的線性運算，結論都是求邊的范圍，因此這兩道題考查的本質是一樣的：向量線性運算的幾何意義和正弦定理的應用.

大多數教師在復習時都會強調“抓住本質”，那么在實際的操作中，我們應該怎么做呢？其實本質就蘊含在概念、性質、結論等的發生處.數學概念是進行數學推理、判斷、論證的重要依據，概念學習的核心任務就是要體會概念產生、發展的過程，理解概念的本質[2].有些數學概念或結論可能需要物理背景幫助理解，比如向量和向量的數量積；有些需要直觀的動畫學生才能體會，比如三角函數圖像的變換，先平移和先伸縮對于平移量的影響；有些需要學生自己動手印象才深刻，比如橢圓、雙曲線的定義等.教師和學生不妨放慢腳步，讓教學進度、題海戰術先靠邊，師生一起探索，動手實踐，交流合作，從而啟發學生發現生活中的數學，欣賞數學的嚴謹，驚嘆數學的美.

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2004：3-5.

[2] 易文輝.體驗概念生成 促進思維發展——以“充分條件與必要條件”(新授課)為例[J].中學教研(數學)，2016(9):15-18.

2017-09-20

金燦芳(1982-),女,浙江蕭山人,中學一級教師.研究方向:數學教育.

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